[crishchess]

Hola tengo dificultades con este problema

Determine una función implícita a partir de la ecuación dada tal que su gráfica sea la curva azul de la figura.


Lo que he hecho:

53:

\( (y-1)^2=(x-2) \ /\sqrt[ ]{} \)
\( y-1= - \sqrt[ ]{x-2} \)
\( y = - \sqrt[ ]{x-2} +1 \)  (Esta seria la gráfica azul)

54: No se me ocurre como despejar y quedarme solo con el primer cuadrante.

55:
\( x^2+y^2=4 \)
\( y^2 = 4-x^2 \ / \sqrt[ ]{} \)
\( y = \sqrt[ ]{4-x^2}  \) (pero sería la gráfica que está en el primer y segundo cuadrante y necesito la gráfica que se encuentra en el segundo y cuarto cuadrante)

Muchas gracias

[franma]

Buenas crishchess,

¿Cuál es la definición de función implícita? ¿Tenemos permitido restringir el intervalo o utilizar funciones definidas a trozos?

Para el 54 (aunque no es el intervalo deseado).

Spoiler

\( x^2+xy+y^2=4 \)

\( y^2+xy=4-x^2 \)

\( \left( y+\dfrac{1}{2}x \right)^2 -\dfrac{1}{4}x^2=4-x^2 \)

\( \left( y+\dfrac{1}{2}x \right)^2 =4 -\dfrac{3}{4}x^2 \)

\( y=\pm \sqrt{4 -\dfrac{3}{4}x^2}-\dfrac{1}{2}x \)

[cerrar]

Saludos,
Franco.

[mathtruco]

Ojo que no es sólo despejar, hay que tener cuidado con los signos.

Para el problema 53, de la gráfica vemos que \( y\leq 1 \), con lo cual

    \( (y-1)^2=x-2 \)

y al sacar raíz

    \( |y-1|=\sqrt{x-2} \)

pero como \( y\leq 1 \), entonces \( y-1\leq 0 \), por lo que \( |y-1|=-(y-1) \), quedando

    \( -(y-1)=\sqrt{x-2} \)

y finalmente obtenemos que para \( y\leq 1 \) la expresión original es equivalente a:

    \( \boxed{y-=1-\sqrt{x-2}} \)

Teniendo esto claro no debieras tener problema en resolver el problema 54 y 55, teniendo presente lo que respondió franma sobre el problema 54.

[crishchess]

Buenas crishchess,

¿Cuál es la definición de función implícita? ¿Tenemos permitido restringir el intervalo o utilizar funciones definidas a trozos?

Para el 54 (aunque no es el intervalo deseado).

Spoiler

\( x^2+xy+y^2=4 \)

\( y^2+xy=4-x^2 \)

\( \left( y+\dfrac{1}{2}x \right)^2 -\dfrac{1}{4}x^2=4-x^2 \)

\( \left( y+\dfrac{1}{2}x \right)^2 =4 -\dfrac{3}{4}x^2 \)

\( y=\pm \sqrt{4 -\dfrac{3}{4}x^2}-\dfrac{1}{2}x \)

[cerrar]

Saludos,
Franco.

Sí podemos restringirlo a funciones a trozos

[crishchess]

Muchas gracias a ambos intentaré hacer el problema 55 si no me sale preguntaré.


Saludos

[crishchess]

Lo resolví el 54 siguiendo sus ayudas y a esto llegué

\( x^2+y^2=4 \)
\( y^2=4-x^2 \)

Aplicando raíz

\( |y| = \sqrt[ ]{4-x^2} \)

Entonces la gráfica solicitada es la función

\(  f(x) = \left \{ \begin{matrix} - \sqrt[ ]{4-x^2} & \mbox{si }0 \leq{x} \leq{}2
\\ \sqrt[ ]{4-x^2} & \mbox{si }-2  \leq{} x  < 0 \end{matrix}\right.  \)

Saludos

[mathtruco]

Correcto 

[Luis Fuentes]

Hola

 Como curiosidad se me ocurre intentar dar una ecuación implícita sin usar una definición a trozos.

 La 53 ya estaba: \( y-1+\sqrt{x-2}=0 \)
 
 Para la 54 se puede usar un truco para reducir el domino de \( x \) e \( y \) a positivos. Sustituirlos por \( x\sim (\sqrt{x})^2 \) y \( y\sim (\sqrt{y})^2 \).

\(  (\sqrt{x})^4+xy+(\sqrt{y})^4=4 \)

 Para la 55 se me ocurre algo así: \( \sqrt{x^2y^2+x^2+y^2-4}+xy=0 \).

Saludos.

 

[crishchess]

Hola

 Como curiosidad se me ocurre intentar dar una ecuación implícita sin usar una definición a trozos.

 La 53 ya estaba: \( y-1+\sqrt{x-2}=0 \)
 
 Para la 54 se puede usar un truco para reducir el domino de \( x \) e \( y \) a positivos. Sustituirlos por \( x\sim (\sqrt{x})^2 \) y \( y\sim (\sqrt{y})^2 \).

\(  (\sqrt{x})^4+xy+(\sqrt{y})^4=4 \)

 Para la 55 se me ocurre algo así: \( \sqrt{x^2y^2+x^2+y^2-4}+xy=0 \).

Saludos.

Jamás se me hubiera ocurrido de esa forma sin ocupar funciones a trozos 

Saludos