Hola
Hola como puedo obtener esta matriz
$$
Q=[I d]_{B_{2}}^{B_{2}}=\left[\begin{array}{ccc}
\frac{1}{2} & 1 & 1 \\
0 & -2 & -1 \\
0 & 0 & -1
\end{array}\right]
$$
Al resolver el siguiente sistema con polinomios la verdad no llego a ver como puedo obtener esa matriz en este sistema alguien podria darme una mano ,el sistema es el siguiente:
\( \left.\begin{array}{rcl}
{ 1}&{=}&{a(2)+b(1-x)+c(1+x^2)}\\
{2x}&{=}&{a(2)+b(1-x)+c(1+x^2)}\\
{-x^2+x}&{=}&{a(2)+b(1-x)+c(1+x^2)}\\
\end{array}\right\} \)
Mensaje corregido desde la administración.
Si llamas \( B_2=\{1,2x,-x^2+x\} \) y \( B_2'=\{2,1-x,1+x^2\} \) esa matriz \( Q \) es la matriz de cambio de base de la base \( B_2 \) a la base \( B_2' \). Sus columnas son las coordenadas de los vectores de la base \( B_2 \) con respecto a la base \( B_2' \).
Lo que tu pones como UN sistema, en realidad son TRES sistemas. Es decir, las \( a,b,c \) de cada ecuación que has puesto son diferentes en cada una de ellas.
Por ejemplo el primero:
\( 1=a(2)+b(1-x)+c(1+x^2) \)
equivale a:
\( 1=2a+b-bx+c+cx^2\quad \Longleftrightarrow{}\quad 1=(2a+b+c)+(-b)x+(c)x^2\quad \Longleftrightarrow{}\quad 1+0\cdot x+0\cdot x^2=(2a+b+c)+(-b)x+(c)x^2 \)
Fíjate que en cada lado de la igualdad tienes un polinomio. Igualando coeficientes de los términos del mismo grado queda el sistema:
\( 1=2a+b+c \)
\( 0=-b \)
\( 0=c \)
La solución es \( (a,b,c)=(1/2,0,0) \) que es justo la primera columna de tu matriz.
De esta forma podrías resolver los otros dos sistemas y así hallar las dos columnas restantes. No obstante hay otra forma de plantear el asunto.
Si consideras como base auxiliar la base canónica de polinomios de grado menor o igual que dos, \( C=\{1,x,x^2\} \) es inmediato que:
\( 1=1\cdot 1+0\cdot x+0\cdot x^2=(1,0,0)_C \)
\( 2x=0\cdot 1+2\cdot x+0\cdot x^2=(0,2,0)_C \)
\( -x^2+x=0\cdot 1+1\cdot x-1\cdot x^2=(0,1,-1)_C \)
\( 2=2\cdot 1+0\cdot x+0\cdot x^2=(2,0,0)_C \)
\( 1-x=1\cdot 1-1\cdot x+0\cdot x^2=(1,-1,0)_C \)
\( 1+x^2=1\cdot 1+0\cdot x+1\cdot x^2=(1,0,1)_C \)
Por tanto las matrices de cambio de base de la base \( B_2 \) y \( B_2' \) a la canónica son respectivamente:
\( M_{CB_2}=\begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{2}&{1}\\{0}&{0}&{-1}\end{pmatrix} \)
\( M_{CB_2'}=\begin{pmatrix}{2}&{1}&{1}\\{0}&{-1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix} \)
Y entonces la matriz buscada es:
\( M_{B_2'B_2}=M_{B_2'C}M_{CB_2}=M_{CB_2'}^{-1}M_{CB_2}=\begin{pmatrix}{2}&{1}&{1}\\{0}&{-1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{2}&{1}\\{0}&{0}&{-1}\end{pmatrix} \)
Saludos.
