[crishchess]

Hola estaba desarrollando una guía de derivadas y me quede atascado en este ejercicio que no se como resolver

En el estudio de ciertos procesos adiabáticos la presión \(  P \) de un gas esta relacionada está relacionada con el volumen \( V \) que ocupa por  \( P = c /V^{\gamma} \) donde \( c \) y \( {\gamma} \) son constantes.
Demuestre que el error relativo aproximado en \( P \) es proporcional al error relativo aproximado en \( V \)

Muchas gracias


Saludos

[delmar]

Hola

Deriva P respecto a V , luego multiplica ambos miembros de la ecuacion por \( \displaystyle\frac{1}{P} \) ten en cuenta q los errores relativos son \( \displaystyle\frac{dP}{P}, \displaystyle\frac{dV}{V} \) creo que puedes terminar


Saludos

[crishchess]

Hola

Deriva P respecto a V , luego multiplica ambos miembros de la ecuacion por \( \displaystyle\frac{1}{P} \) ten en cuenta q los errores relativos son \( \displaystyle\frac{dP}{P}, \displaystyle\frac{dV}{V} \) creo que puedes terminar


Saludos

Hola

- Calculé la derivada de \( P \) respecto a \( v \) y quedó

\( \displaystyle\frac{dP}{dv} = \displaystyle\frac{-c \gamma}{v^{\gamma+1}} \)

- Luego multiplicando por \( \displaystyle\frac{1}{P} \)

\( \displaystyle\frac{dP}{dv \cdot P } = \displaystyle\frac{-c \gamma}{(v^{\gamma+1})p} \)

- Entonces si despejo \( \displaystyle\frac{dP}{P} \) queda

\( \displaystyle\frac{dP}{P } = \displaystyle\frac{-c \gamma \cdot dv}{(v^{\gamma+1})p} \)

¿Como calculo \( \displaystyle\frac{dV}{V} \) tengo que derivar con respecto a \( V \) ? . Luego hacer ¿\( \displaystyle\frac{dP}{P}= \displaystyle\frac{dV}{V} \)?

Saludos

[Abdulai]

Hacé una derivación logarítmica.

\( P = \dfrac{c}{V^\gamma}\;\;\longrightarrow\;\;\ln P = \ln c - \gamma \ln V \) 

derivando ambos miembros  \( \dfrac{dP}{P}= -\gamma \dfrac{dV}{V} \)

[crishchess]

Hacé una derivación logarítmica.

\( P = \dfrac{c}{V^\gamma}\;\;\longrightarrow\;\;\ln P = \ln c - \gamma \ln V \) 

derivando ambos miembros  \( \dfrac{dP}{P}= -\gamma \dfrac{dV}{V} \)

No se me había ocurrido de esa forma. 

Muchas gracias.


Saludos

[delmar]

Hola

Deriva P respecto a V , luego multiplica ambos miembros de la ecuacion por \( \displaystyle\frac{1}{P} \) ten en cuenta q los errores relativos son \( \displaystyle\frac{dP}{P}, \displaystyle\frac{dV}{V} \) creo que puedes terminar


Saludos

Hola

- Calculé la derivada de \( P \) respecto a \( v \) y quedó

\( \displaystyle\frac{dP}{dv} = \displaystyle\frac{-c \gamma}{v^{\gamma+1}} \)

- Luego multiplicando por \( \displaystyle\frac{1}{P} \)

\( \displaystyle\frac{dP}{dv \cdot P } = \displaystyle\frac{-c \gamma}{(v^{\gamma+1})p} \)

- Entonces si despejo \( \displaystyle\frac{dP}{P} \) queda

\( \displaystyle\frac{dP}{P } = \displaystyle\frac{-c \gamma \cdot dv}{(v^{\gamma+1})p} \)

¿Como calculo \( \displaystyle\frac{dV}{V} \) tengo que derivar con respecto a \( V \) ? . Luego hacer ¿\( \displaystyle\frac{dP}{P}= \displaystyle\frac{dV}{V} \)?

Saludos

Para completar has llegado a \( \displaystyle\frac{dP}{P } = \displaystyle\frac{-c \gamma \cdot dv}{(v^{\gamma+1})p} \) ahora sencillamente utiliza la ecuación original \( P=\displaystyle\frac{c}{v^{\gamma}} \) es decir sustituye el valor de P y se obtiene \( \displaystyle\frac{dP}{P}=\displaystyle\frac{-\gamma \ dv}{v} \)


Saludos