[crishchess]

Hola tengo dudas con este ejercicio

Use una función idónea y una aproximación lineal local para encontrar una aproximación de la cantidad dada.

a)\( 10,5 +e^{0,1} \)  b) \( cos(\pi/2 -0,4) \)           ;           c) \( sen(1) \)

Lo que he hecho

a) Una linealización tiene la forma \( f(x) = f(x_0) + f^{\prime}(x_0)\Delta (x) \)

La función que escogí \( f(x)= 10,5 +e^x \)

\( x_0 = 0  \)
\( f(0) = 10,5 + e^0 = 10,5 +1 =11,5 \)
\( f(0,1) = f (0 + \Delta (x))  \)
\( \Delta (x) = 0,1 \)

- Luego solo falta encontrar la derivada y evaluar en \( 0 \)

\( f^{\prime}(x) = e^x \)
\( f^{\prime}(0)=1 \)

Por lo tanto una aproximación es la forma \( f(x) = f(0)+ f^{\prime}(0) \Delta x  \)
\( f(x) = 11,5 +1 \cdot 0,1  \)

Pero me complica el ejercicio b y c. Para b podria escoger la función \( f(x) = cos (\displaystyle\frac{\pi}{2}-x) \) y \( x_0 =0 \) pero la aproximación que obtengo es 0,4 muy lejano a \( cos(\pi/2 -0,4) \).

Para c la función que se puede ocupar es \( sen(x) \) pero si ocupo \( x_0 = 0 \) la aproximación es muy lejana.

Muchas gracias

[martiniano]

Hola.

Pero me complica el ejercicio b y c. Para b podria escoger la función \( f(x) = cos (\displaystyle\frac{\pi}{2}-x) \) y \( x_0 =0 \) pero la aproximación que obtengo es 0,4 muy lejano a \( cos(\pi/2 -0,4) \).

¿El enunciado es \( cos(\pi/2 -0,4) \) o \( cos(\pi-0,4) \)?

Para c la función que se puede ocupar es \( sen(x) \) pero si ocupo \( x_0 = 0 \) la aproximación es muy lejana.

Si usas calculadora para calcular \[ \sin(1) \] recuerda tenerla en radianes. Lo mismo para el b). De todas maneras puedes sacar cotas al error con la fórmula del resto de Lagrange.

Mira a ver si esto soluciona algo y si no nos dices. Un saludo.

[crishchess]

Hola.

Pero me complica el ejercicio b y c. Para b podria escoger la función \( f(x) = cos (\displaystyle\frac{\pi}{2}-x) \) y \( x_0 =0 \) pero la aproximación que obtengo es 0,4 muy lejano a \( cos(\pi/2 -0,4) \).

¿El enunciado es \( cos(\pi/2 -0,4) \) o \( cos(\pi-0,4) \)?

Para c la función que se puede ocupar es \( sen(x) \) pero si ocupo \( x_0 = 0 \) la aproximación es muy lejana.

Si usas calculadora para calcular \[ \sin(1) \] recuerda tenerla en radianes. Lo mismo para el b). De todas maneras puedes sacar cotas al error con la fórmula del resto de Lagrange.

Mira a ver si esto soluciona algo y si no nos dices. Un saludo.

El enunciado es  \( cos(\pi/2 -0,4) \)  (error de tipeo) que ya edite. Intentaré aplicar lo que mencionas para ver que sale.

Saludos

[Abdulai]

Si se va a hacer una aproximaxión lineal debe partirse se del valor conocido mas cercano.


En \( 10,5 +e^{0,1} \)  sabemos que \( e^0=1 \) así que usamos el los dos primeros términos del Taylor.
\( 10,5 +e^{0,1} = 10.5+(1+0.1) = 11.6  \)

En los otros, partir de 0 es demasiado, pero como los argumentos son valores cercanos a  \( \dfrac{\pi}{3} \) usamos el coseno y seno de la suma:  \( \cos(a+b)=\cos a\cos b - \sin a\sin b \)  y  \( \sin(a+b)=\sin a\cos b - \cos a\sin b \)

\( \cos(\frac{\pi}{2}-x) = \cos(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}-x) = \underbrace{\cos(\frac{\pi}{3})}_{1/2} \underbrace{\cos(\frac{\pi}{6}-x)}_{\approx 1} - \underbrace{\sin(\frac{\pi}{3})}_{\sqrt 3/2} \underbrace{\sin(\frac{\pi}{6}-x)}_{\approx \pi/6-x} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt 3}{2}(\frac{\pi}{6}-x) \)

\( \sin(x) = \sin(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}+x) = \underbrace{\sin(\frac{\pi}{3})}_{\sqrt 3/2} \underbrace{\cos(\frac{\pi}{3}-x)}_{\approx 1} - \underbrace{\cos(\frac{\pi}{3})}_{1/2} \underbrace{\sin(\frac{\pi}{3}-x)}_{\approx \pi/3-x} =\frac{\sqrt3}{2} - \frac{1}{2}(\frac{\pi}{3}-x) \)

que aproximan bien en una vecindad de los puntos dados y horrible en el resto ...