[upnordown]

Hola,

Estoy intentando demostrar que la siguiente función es biyectiva  y encontrar su función inversa.

Sea \( X \) un conjunto y \( A \) un subconjunto de \( X \).

\( f:{\cal P}(X)\to {\cal P}(X) \)
           \( A\to A^c \) (el complemento de \( A \) en \( X \))

Es la primera que intento hacer un ejercicio de este tipo con conjuntos y conjuntos potencia, así que no sé como resolverlo.

Mil gracias por su ayuda.
Mensaje corregido desde la administración.

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 Por esta vez te hemos corregido el mensaje desde la administración.

Estoy intentando demostrar que la siguiente función es biyectiva  y encontrar su función inversa.

Sea \( X \) un conjunto y \( A \) un subconjunto de \( X \).

\( f:{\cal P}(X)\to {\cal P}(X) \)
           \( A\to A^c \) (el complemento de \( A \) en \( X \))

 Imagina que \( X=\{1,2,3,4,5\} \) si \( A=\{2,3\} \) entonces \( A^c=\{1,4,5\} \). ¿Cómo vuelves a recuperar \( A \) a partir de1 \( \{,4,5\}? \) Tomando de nuevo el complementario, \(  \{1,4,5\}^c=\{2,3\}. \)

 Es decir comprueba que la inversa de \( f \) es otra vez \( f \).

Saludos.

[delmar]

Hola,

Estoy intentando demostrar que la siguiente función es biyectiva  y encontrar su función inversa.

Sea \( X \) un conjunto y \( A \) un subconjunto de \( X \).0

\( f:{\cal P}(X)\to {\cal P}(X) \)
           \( A\to A^c \) (el complemento de \( A \) en \( X \))

Es la primera que intento hacer un ejercicio de este tipo con conjuntos y conjuntos potencia, así que no sé como resolverlo.

Mil gracias por su ayuda.
Mensaje corregido desde la administración.

Hola

Te ayudo con la primera parte demostrar que f es biyectiva :
Esto implica demostrar que es biyectiva y sobreyectiva
INYECTIVA
Supongamos A, B elementos de P(X) es decir son dos subconjuntos de X, y \( A\neq B \) se tiene \( f(A) =A^c, f(B) =B^c \) por ser \( A\neq B \) existe \( (a\in{A}\wedge a\not\in B) 1 \vee(b\in{B}\wedge b\not\in A) 2 \) cualquiera de las dos situaciones se puede presentar o ambas, consideremos 1, se tiene que \( (a\not\in A^c\wedge a\in{B^c}) \Rightarrow{A^c\neq B^c} \) de manera semejante con 2

SOBREYECTIVA
Para cualquier elemento de P(X) por ejemplo T, existe \( T^c\wedge f( T^c) =T \) esto implica que la imagen de f es...... en consecuencia por definición f es....

Saludos

[upnordown]

Gracias a ambos.

[upnordown]

¿Me pueden confirmar si la función inversa sería la siguiente?

\( f:{\cal P}(X)\to {\cal P}(X) \)
          \( A^c\to A \)

[Luis Fuentes]

Hola

¿Me pueden confirmar si la función inversa sería la siguiente?

\( f:{\cal P}(X)\to {\cal P}(X) \)
          \( A^c\to A \)

Pues estrictamente, es correcto. Pero es una forma poco natural de escribirla. Para definir como actúa una función desde \( {\cal P}(X) \), es decir cual es la imagen de un conjunto \( A\subset X \). Pero tu das la imagen de su complementario.

Es como si para escribir la función que duplica un número en lugar de poner, \( f(x)=2x \) pones \(  f(x/2)=x \). Correcto.. es. Pero poco natural y menos efectivo, porque te obliga a hacer una operación previa para saber la imagen de un elemento.

Entonces la inversa es simplemente \( f(A)=A^c \). ¡Exactamente la misma que la original!. Comprueba que se verifica:

\( f\circ f=id \).

Spoiler

Simplemente porque \( (A^c)^c=A \).

[cerrar]

Saludos.

[upnordown]

Hola

¿Me pueden confirmar si la función inversa sería la siguiente?

\( f:{\cal P}(X)\to {\cal P}(X) \)
          \( A^c\to A \)

Pues estrictamente, es correcto. Pero es una forma poco natural de escribirla. Para definir como actúa una función desde \( {\cal P}(X) \), es decir cual es la imagen de un conjunto \( A\subset X \). Pero tu das la imagen de su complementario.

Es como si para escribir la función que duplica un número en lugar de poner, \( f(x)=2x \) pones \(  f(x/2)=x \). Correcto.. es. Pero poco natural y menos efectivo, porque te obliga a hacer una operación previa para saber la imagen de un elemento.

Entonces la inversa es simplemente \( f(A)=A^c \). ¡Exactamente la misma que la original!. Comprueba que se verifica:

\( f\circ f=id \).

Spoiler

Simplemente porque \( (A^c)^c=A \).

[cerrar]

Saludos.

Entendido. Se lo agradezco.

[Luis Fuentes]

Hola

 Añado algo más. Si dado una aplicación \( f:A\to B \) y uno propone una función \( g:B\to A \) y se cumple que \( f\circ g=id_B \) y \( g\circ f=id_A \) entonces de una tacada queda probado que \( f \) es biyectiva y que \( f^{-1}=g. \)

 Así que en este caso, simplemente comprobando que \( f\circ f=id \), de un plumazo pruebas que \( f \) es biyectiva y que \( f^{-1}=f \).

Saludos.