[Minmind]

Buenas tardes. Tengo que hacer este ejercicio y me gustaría que pudiesen orientarme para llegar a la solución.

Dada \( f:[0,1]\to \Bbb R \) integrable con \( \displaystyle\int_{0}^{1}fd\lambda=\alpha \). Probar que si \( |f|\leq \alpha \) en casi todo punto de \( [0, 1] \), entonces \( f=\alpha \) en casi todo punto de \( [0, 1]. \)

Como conocimientos previos, tengo varios sabidos sobre la medida de Lebesgue y las funciones medibles (aunque aún debo ahondar en sus relaciones con la integral).

Espero que me puedan ayudar con indicaciones o alguna respuesta específica. Muchas gracias por su atención.
Mensaje corregido desde la administración.

[Masacroso]

Buenas tardes. Tengo que hacer este ejercicio y me gustaría que pudiesen orientarme para llegar a la solución.

Dada f : [0, 1] → R integrable con la integral en el [0,1] de f dλ = α. Probar que si |f| ≤ α en casi todo punto de [0, 1], entonces f = α en casi todo punto de [0, 1].

Como conocimientos previos, tengo varios sabidos sobre la medida de Lebesgue y las funciones medibles (aunque aún debo ahondar en sus relaciones con la integral).

Espero que me puedan ayudar con indicaciones o alguna respuesta específica. Muchas gracias por su atención.

¡Bienvenida al foro Minmind! Las matemáticas se escriben con \( \LaTeX \), tienes un tutorial aquí sobre cómo hacerlo. Por favor, edita el mensaje así queda clara la pregunta.

[Luis Fuentes]

Hola

 Minmind: Haz caso a las recomendaciones de Masacroso. Por esta vez te hemos corregido el mensaje desde la administración.

Buenas tardes. Tengo que hacer este ejercicio y me gustaría que pudiesen orientarme para llegar a la solución.

Dada \( f:[0,1]\to \Bbb R \) integrable con \( \displaystyle\int_{0}^{1}fd\lambda=\alpha \). Probar que si \( |f|\leq \alpha \) en casi todo punto de \( [0, 1] \), entonces \( f=\alpha \) en casi todo punto de \( [0, 1]. \)

 Fíjate que si \( |f|\leq \alpha \) en casi todo punto, entonces \( f\leq |f|\leq \alpha \) ó \( \alpha-f\geq 0 \) en casi todo punto.

 Pero:

\(  \displaystyle\int_{0}^1(\alpha-f)d\lambda=\alpha- \displaystyle\int_{0}^1fd\lambda=0 \)

 y si la integral de una función positiva en casi todo punto es nula, entonces la función es nula en casi todo punto.

Saludos.

[Minmind]

Entendido. Muchas gracias.

Y sí, disculpen lo de LATEX, de ahora en adelante miraré el tutorial y lo aplicaré.

Gracias a los dos