[lorkisa]

Buenas tardes, el ejercicio que tengo es demostrar que S es cerrado si y solo si S es la unión de los puntos interiores y puntos frontera de S, y pues yo en mi curso dentro de la Licenciatura, se que un conjunto es cerrado si su complemento es abierto, y pues por definición de conjunto abierto si tomo un punto \( x \in{S^c} \) se tiene \( B_r (a)\subset{S^c} \) lo que significa que \( B_r (a)\cap{S}= \phi \), de manera que a es punto exterior de S y por tanto \( a\not\in Fr(S) \), lo que quiere decir, \( Fr(S)\subset{S} \). Pero, tengo conflicto con \( Int(s) \) debido a que si S es cerrado pues no tiene puntos interiores según lo que entiendo yo.
Entonces era para si me podian ayudar por favor con alguna sugerencia, se lo agradecería, ya  que, tengo que entregar el taller mañana.
Gracias

[martiniano]

Hola.

Bienvenida al foro. Las cabeceras que utilizamos para introducir fórmulas de latex son [tex][/tex].

Es falso que un cerrado no tenga puntos interiores. Fíjate que, según la definición que has dado de cerrado, el conjunto \[ A =[0,+\infty)  \] es cerrado en \[ \mathbb{R} \] porque su complementario \[ A^c=(-\infty, 0) \] es abierto. Sin embargo, cualquier real positivo pertenece al interior de \[ A \].

Un saludo.

Pd. Es cierto que, en \[ \mathbb{R^n} \] y en alguna topología, como puede ser la topología de complementos finitos, un cerrado no puede tener interior, pero no creo que sea ésa la topología que se deba considerar.

[lorkisa]

Pero en la definición que tengo, \(  S^c  \) es abierto  y por tanto, tiene puntos interiores pero en mi parecer no podria decir lo mismo de S. Entonces mi inquietud es como hago para q partiendo de q es cerrado llegar a la union de los puntos frontera con los puntos interiores; y, como usaría entonces la topología que me sugieres de que un conjunto cerrado puede tener puntos interiores.

[martiniano]

Hola.

No estoy seguro de entender tu duda.

Si \[ S \] es cerrado entonces \[ S^c \] es abierto. Entonces para todo \[ a\in{S^c} \] existe \[ r\in{\mathbb{R^+}} \] tal que \[ B_r(a) \subseteq{S^c} \] por lo que \[ a \] está tanto fuera del interior como de la frontera de \[ S \]. ¿No? Ya que si \[ a \] estuviese en el interior o en la frontera, en cualquiera de ambos casos, toda bola abierta centrada en \[ a \] contendría elementos de \[ S-\{a\}  \]

Un saludo.

[Juan Pablo Sancho]

Si \( S \) es cerrado puede tener puntos interiores o no, como te menciona martiniano.
Si \( S = \{1\}  \) no tiene puntos interiores.
Si \( S = [0,1] \) tenemos que \( \dfrac{1}{2} \) es un punto interior de \( S \).

[lorkisa]

Ya encontre como, pues si parto de que S es cerrado y supongo que \( a\not\in Int(s) \) entonces para todo radio \( r>0 \) existe \( V_r (a)\not\subset S \), luego \( V_r(a)\cap{S}\neq \phi \) y \( V_r(a)\cap{S^c}\neq \phi \), es decir, \( a\in{Fr(S)} \) y por tanto, \( S=Int(S)\cup{Fr(S)}  \)puesto que por teoría de conjuntos yo tengo que la unión me implica \(  a\in{Int(S)}\vee a\in{Fr(S)} \) y ya llegue a que  \( a\in{Fr(S)} \). Y esta sería la demostración en este sentido.  \( \Rightarrow{} \). Ahora, me faltaria en el otro sentido, que sería demostrar que si \( S=\left\{{a\in{\mathbb{R}\mid a\in{Int(S)\vee a\in{Fr(S)}}}}\right\}  \) entonces S es cerrado, entonces nose si viendo la primera parte me podrás ayudar con alguna sugerencia para demostrar  \( \Leftarrow{} \)

[martiniano]

Hola.

Si no me equivoco la idea que expones es más o menos la misma que en mi anterior mensaje. Si es así fíjate en que todas las implicaciones funcionan en ambos sentidos. Si alguna no la ves indica cuál y lo miramos.

Un saludo.

[lorkisa]

Si,muchas gracias a todos