[Gabriel Alejandro]

Estoy resolviendo el ejercicio siguiente
Si $$f_{n}$$ es una sucesión de integrables, convergen puntualmente a $$f$$ y $$\displaystyle\int f=\displaystyle\lim_{n \to\infty}{\displaystyle\int f_{n}}$$ entonces para todo $$A$$ en el sigmaálgebra $$\displaystyle\int_{A} f=\displaystyle\lim_{n \to\infty}{\displaystyle\int_
{A} f_{n}}$$. Abordé la demostración para positivas y ya lo tengo, ahora estoy intentando la otra parte, expresé a $$f=f^{+}-f^{-}$$ pero no he logrado avance, agradezco cualquier sugerencia.

[Carlos Ivorra]

Toma: \( f_n:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R \) dada por

\( f_n(x)=\begin{cases}{n}&\text{si}& 0< x<1/n\\ -n & \text{si}& -1/n<x<0\\ 0&\text{en otro caso}\end{cases} \)

Son funciones integrables que convergen puntualmente a la función nula. Sus integrales valen \( 0 \), luego convergen a la integral de la función nula.

Ahora toma \( A=\left]0, +\infty\right[ \). Las integrales en \( A \) valen todas \( 1 \) y no convergen a la integral en \( A \) de la función nula.

[Gabriel Alejandro]

Muchas gracias, con razón no lograba concluir la prueba. Saludos.