Sea $$f(x)=x^2$$, $$v$$ la medida de Lebesgue en R con el sigma álgebra de borel y $$v(f)$$ la medida imagen correspondiente sobre $$T_{R}$$ (sigma álgebra boreliana de R). Demuestre que la sucesión de funciones $$\frac{sen(x)}{nx}$$ converge a 0 en $$L^{1}(v(f))$$. Mi idea es utilizar el teorema de convergencia dominada, utilizando que la sucesión es decreciente. Cualquier ayuda lo agradecería mucho. Muchas gracias.
Te piden demostrar que
\( \displaystyle{
\lim_{n\to\infty} \int_{\mathbb{R}}|g_n| d (f_{*}\lambda )=0,\quad g_n(x):=\frac{\operatorname{sen}(x)}{nx}\tag1
} \)
donde \( f_{*}\lambda \) es la medida inducida en el codominio de \( f \) (y donde \( \lambda \) es la medida de Lebesgue, definida en el dominio de \( f \)). La idea en la que resuelvas esto depende mucho en lo que conozcas de teoría de la medida. En general se puede demostrar de la definición de la medida \( f_{*}\mu \) y utilizando funciones simples que
\( \displaystyle{
\int_{A} g\, d(f_*\mu)=\int_{f^{-1}(A)} g\circ f \,d\mu\tag2
} \)
para cualquier medida \( \mu \) y función medible \( g \). En tu caso tienes que
\( \displaystyle{
\int_{\mathbb{R}}\left| \frac{\operatorname{sen}x}{nx} \right|d(f_*\lambda )(x)=\int_{[0,\infty )}\left| \frac{\operatorname{sen}(x^2)}{nx^2} \right|dx\tag3
} \)
A partir de ahí se sigue fácilmente la conclusión.
