[Alejandro Pérez]

Que tal compañeros, vengo en ayuda de ustedes, tengo que hacer una demostracion acerca de la notacion de landau donde \[ f = o(1) \] cuando \[ x \rightarrow{x_{0}} \] si y solo si \[ lim_{x\to x_0}f(x) = 0 \] y cuando \[ f = O(1) \] cuando \[ x \rightarrow{x_{0}} \] si y solo si \[ f \] es acotada en una vecinidad de \[ x_0 \] y recurro a ustedes porque ya eh visto videos, documentos, etc. y no logro entenderle y si es necesario apoyar economicamente pues no tengo incoveniente en hacerlo porque la verdad ya no doy mas(siempre y cuando un administrador lo permita). anexare la foto de lo que debo de hacer.

Moderación: Arreglado LaTeX

[geómetracat]

 Bienvenido al foro.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Para que te aparezcan las fórmulas en LaTeX debes encerrar las fórmulas entre etiquetas [tex] y [/tex]. Por esta vez te las hemos puesto desde moderación.

Para ayudarte, vendría muy bien que pusieras exactamente las definiciones que te han dado de notación \[ O \] y notación \[ o \].

[Alejandro Pérez]

Gracias, me falto esa parte para poderlo poner en latex, no me dieron una definición ni nada fue un ejercicio de maestría, yo en la licenciatura no recuerdo haber ocupado esa notación, entonces ahorita llevo la semana entera tratando de entenderle pero no puedo aparte de que tengo que resolver mas ejercicios de otras materias entonces pues no puedo solo enfocarme a este, así que como tal no tengo una definición que se me halla dado.

[delmar]

Hola

Ayudo con b)

Definiendo f(x)=o(g(x)) cuando \( x\rightarrow{x_0} \) si y sólo si \( \displaystyle\lim_{x \to{}x_0}{\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}}=0 \)


Si f(x)=o(1) se tiene que g(x)=1 y por definición \( \displaystyle\lim_{x \to{}x_0}{\displaystyle\frac{f(x)}{1}}=0\Rightarrow{\displaystyle\lim_{x \to{}x_0}{f(x)}=0} \)

Si \( \displaystyle\lim_{x \to{}x_0}{f(x)}=0\Rightarrow{\displaystyle\lim_{x \to{}x_0}{\displaystyle\frac{f(x)}{1}}=0} \) por definición de o se tiene  \( f(x)=o(1) \)

Saludos

[geómetracat]

Es raro que te pidan esto sin darte definiciones, pero vaya...

delmar ya te ha ayudado con el segundo, te ayudo yo con el primero.
La definición estándar es: decimos que \[ f(x)=O(g(x)) \] cuando \[ x \to x_0 \] si existen constantes \[ \delta, M>0 \] tales que si \[ 0<|x-x_0|<\delta \] entonces \[ |f(x)|\leq M|g(x)| \].
Es decir, la idea es que si \[ f(x)=O(g(x)) \] entonces hay un entorno de \[ x_0 \] donde \[ f \] y \[ g \] no "difieren mucho", en el sentido de que su cociente está acotado.

Con esta definición el ejercicio es muy inmediato, pues si tomamos \[ g(x)=1 \] queda: \[ f(x)=O(1) \] cuando \[ x\to x_0 \] si y solo si en un entorno de \[ x_0 \] se tiene \[ |f(x)|\leq M \] para algún \[ M>0 \]. Pero esto último es lo mismo que decir que \[ f \] está acotada en un entorno de \[ x_0 \].

[Alejandro Pérez]

Compañeros no se como agradecerles la ayuda que me brindaron.