[Gabriel Alejandro]

Sea $$f:X\rightarrow \mathbb{R}$$ y $$T=f^{-1}(T_{ \mathbb{R}})$$. Demuestre que para todo $$g:X\rightarrow \mathbb{R}$$ medible existe $$h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$ medible tal que $$g(x)=h(f(x))$$ para todo $$x$$ en $$\mathbb{R}$$.
 Avancé en el ejercicio de la siguiente forma:
Comencé tomando $$g=I_{A}$$ con $$A \in T$$ así $$A=f^{-1}(B)$$ con $$B \in T_{ \mathbb{R}}$$, por lo tanto definí $$h=I_{B}$$ concluyendo lo requerido. Al pasar a simples razono análogamente. Cuando tomo una $$g$$ general sé existe una sucesión de simples que convergen puntualmente así $$g(x)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{s_{n}(x)}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{h_{n}(f(x))}$$ con $$h_{n}$$ la medible asociada a cada simple $$s_{n}$$. Defino $$h(f(x))=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{h_{n}(f(x))}$$ será medible porque es límite puntual de medibles pero mi duda es cómo definirla para los reales que no pertenecen a la imagen de la función $$f$$.

[Luis Fuentes]

Hola

Sea $$f:X\rightarrow \mathbb{R}$$ y $$T=f^{-1}(T_{ \mathbb{R}})$$. Demuestre que para todo $$g:X\rightarrow \mathbb{R}$$ medible existe $$h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$ medible tal que $$g(x)=h(f(x))$$ para todo $$x$$ en $$\mathbb{R}$$.
 Avancé en el ejercicio de la siguiente forma:
Comencé tomando $$g=I_{A}$$ con $$A \in T$$ así $$A=f^{-1}(B)$$ con $$B \in T_{ \mathbb{R}}$$, por lo tanto definí $$h=I_{B}$$ concluyendo lo requerido. Al pasar a simples razono análogamente. Cuando tomo una $$g$$ general sé existe una sucesión de simples que convergen puntualmente así $$g(x)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{s_{n}(x)}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{h_{n}(f(x))}$$ con $$h_{n}$$ la medible asociada a cada simple $$s_{n}$$. Defino $$h(f(x))=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{h_{n}(f(x))}$$ será medible porque es límite puntual de medibles pero mi duda es cómo definirla para los reales que no pertenecen a la imagen de la función $$f$$.

Antes de nada creo que falta aclarar algún detalle en el enunciado. ¿Quién es \( T_{\Bbb R} \) y sobre todo que medida estás considerando en \( X \)?.

Saludos.

[Gabriel Alejandro]

En $$X$$ se está considerando la sigma álgebra $$T$$ y $$T_{\mathbb{R}}$$ es la sigma álgebra boreliana de $$\mathbb{R}$$. Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

En $$X$$ se está considerando la sigma álgebra $$T$$ y $$T_{\mathbb{R}}$$ es la sigma álgebra boreliana de $$\mathbb{R}$$. Gracias.

Vale. Pero entonces directamente toma \( h \) como el límite puntual de las \( h_n \) en TODO punto. Es decir no es que definas:

\( h(f(x))=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}h_n(f(x)) \)

sinó:

\( h(y)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}h_n(y) \)

Saludos.

[Gabriel Alejandro]

Mi duda para tomarlo así fue el garantizar que ese límite existe, es decir, para cada $$x\in \mathbb{R}$$ la sucesión $$h_{n}(x)$$  en  \( \mathbb{R} \) converge, Para poder realizar la definición de $$h$$. Intenté ver si era de Cauchy pero no logré nada.

[Luis Fuentes]

Hola

Mi duda para tomarlo así fue el garantizar que ese límite existe, es decir, para cada $$x\in \mathbb{R}$$ la sucesión $$h_{n}(x)$$  en  \mathbb{R} converge, Para poder realizar la definición de $$h$$. Intenté ver si era de Cauchy pero no logré nada.

Entiendo. Si no me equivoco el conjunto \( C \) de puntos donde una sucesión de funciones medible converge es medible\( ^{(1)} \). Entonces en este caso puedes definir:

\( h(y)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}h_n(y) \) si \( y\in C \)
\( h(y)=0 \) si \( y\not\in C \)

Es una función medible. Dado que \( Im(f)\subset C \), cumple lo que quieres.

Saludos.
\( ^{(1)} \) Esto puede probarse teniendo en cuenta que tal conjunto es el mismo donde la sucesión es de Cauchy y puede escribirse como:

\( C=\displaystyle\bigcap_{n\in \Bbb N}\displaystyle\bigcup_{m_0\in \Bbb N}\displaystyle\bigcap_{m_1,m_2>m_0}\left\{x\in X\left||h_{m_1}(x)-h_{m_2}(x)|<\dfrac{1}{n}\right.\right\} \)

[Gabriel Alejandro]

Muchas gracias!