Hola, me baso en la idea central de la demostración de Euler del UTF3; por lo que esto es sólo una versión de la misma.
Supongamos que \( \pmb{a^3+b^3+c^3=0} \) , para \( a,b,c \) enteros y coprimos entre sí.
Si \( 3 \) no divide á \( abc \) . Entonces, puesto que \( (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^3=\{0,1,-1\} \) , tendremos que \( a^3+b^3+c^3\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) . Lo que no puede ser.
Establezcamos pues, sin perder generalidad, que \( 3^k \) , para \( k\in{\mathbb{N}} \) , divide á \( c \) .
Lema I: Si \( \alpha^3 \) , para \( \alpha\in{\mathbb{Z}(\omega=(-1+\sqrt{-3})/2)} \) , el anillo de los enteros de Eisenstein; no es múltiplo de \( 3 \) ni de \( 2 \) , entonces \( \alpha^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 9 \) -y- \( \alpha^3\equiv{1} \) mod \( 2 \) .
Tomemos \( \alpha=a+b\omega \) , para \( a,b \) enteros y coprimos. Entonces: \( \alpha^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3\omega^3 \) . Módulo \( (3,9) \) , podemos encontrarnos con estas dos situaciones: Que \( a \) ó \( b \) sean uno de ellos múltiplo de \( 3 \) ó que \( a\equiv{b} \) mod \( 3 \) . Puesto que si \( a\equiv{-b} \) mod \( 3 \) , entonces \( 3 \) dividirá á \( a+b \) -y- por lo tanto, al menos, \( \lambda=\omega-1 \) de \( 3=-\omega^2\lambda^2 \) , también dividirá á \( a+b\omega \) , ya que \( a+b\omega\equiv{a+b} \) mod \( \lambda \) \( (\omega\equiv{1} \) mod \( \lambda) \) . En la primera de las situaciones, \( \alpha^3 \) es congruente módulo \( 9 \) con \( b^3 \) ó \( a^3 \) , según sea el caso. Y en la segunda situación, tendríamos que \( (a+b\omega)^3\equiv{b^3+3b^3\omega+3b^3\omega^2+b^3\omega^3}\equiv{2b^3-3b^3}\equiv{-b^3} \) . Luego en todos los casos \( \alpha^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 9 \) .
Módulo \( 2 \) , tenemos también que \( (a+b\omega)^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3\omega^3\,=\,a^3+b^3+3ab\omega(a+b\omega) \) . Y al ser \( 2 \) primo en \( \mathbb{Z}(\omega) \) , podemos encontrarnos solamente con estas dos situaciones: Que \( a \) ó \( b \) sean uno de ellos pares; y en consecuencia \( \alpha^3 \) será congruente con \( 1 \) con \( b^3 \) ó \( a^3 \) , según sea el caso. Ó que los dos, \( a,b \) , sean impares; pero entonces \( (a+b\omega)^3\equiv{1+3\omega+3\omega^2+1}=-1\equiv{1} \) . En definitiva, en todos los casos \( \alpha^3\equiv{1} \) mod \( 2 \) .
Lema II: Si \( a^3+b^3+c^3=0 \) , \( 3 \) solamente divide al cubo que es par.
Supongamos sin perder generalidad, que \( 2^l \) , para \( l\in{\mathbb{N}} \) , divide á \( a \) -y- que \( 3^k \) divide á \( c \) . Entonces, como \( -b^3=a^3+c^3 \) -y- \( -b^3=(a+c)(a+c\omega)(a+c\omega^2) \) . Tendremos que: \( a+c\omega=\epsilon\alpha^3 \) , para \( \epsilon \) una unidad -y- \( \alpha^3 \) un cubo entero de Eisenstein. Como \( \alpha^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 3 \) , si éste no lo divide (Lema I) -y- : \( a+c\omega\equiv{1} \) mod \( 3 \) ; si establecemos, sin pérdida de generalidad, que \( a^3+b^3+c^3\equiv{0} \) mod \( 3 \) \( \Rightarrow \) \( 1-1+0 \) . Entonces \( \epsilon\alpha^3\equiv{1} \) mod \( 3 \) -y- \( \pm\epsilon\equiv 1 \) . De esta manera, sólo puede ser: \( \epsilon=1 \) . Pero por el Lema I también conocemos que \( \alpha^3\equiv{1} \) mod \( 2 \) , si éste no lo divide. Y : \( a+c\omega\equiv\omega \) mod \( 2 \) \( \Rightarrow \) \( \epsilon\alpha^3\equiv\omega \) mod \( 2 \) ; donde \( \epsilon\equiv\omega \) . Pero esto no puede ser porque antes demostramos que \( \epsilon=1 \) .
Así, si \( -c^3=a^3+b^3 \) , como \( 2 \) -y- \( 3 \) , como mínimo, dividirán á \( c \) (Lema II); entonces \( -2^{3l}3^{3k}c`\,^3=a^3+b^3 \) \( \Rightarrow \) \( -2^{3l}3^{3k}c`\,^3=(a+b)((a+b)^2-3ab) \) . Y como \( a+b \) -y- \( (a+b)^2-3ab \) son coprimos salvo por \( 3 \) . Si divido ahora entre \( 3^{3k} \) en ambos lados de la igualdad, obtendré \( -2^{3l}c`\,^3=\left({\dfrac{a+b}{3^{3k-1}}}\right)\left({\dfrac{(a+b)^2}{3}-ab}\right) \) -y : \( \dfrac{a+b}{3^{3k-1}} \) , \( \dfrac{(a+b)^2}{3}-ab \) serán cubos. Como \( a+b \) es par, pues \( a,b \) son impares, voy a llamarlo \( 2u \) para un \( u \) entero. De esta forma, el cubo \( \dfrac{(a+b)^2}{3}-ab \) será igual á \( \dfrac{4u^2}{3}-ab \) .
Lema III: Si \( 2u=a+b \) , existe un entero \( v \) tal que \( \dfrac{4u^2}{3}-ab=\dfrac{u^2}{3}+v^2 \) .
Operamos: \( v^2=\dfrac{4u^2}{3}-\dfrac{u^2}{3}-ab \) -y- \( v^2=u^2-ab \) \( \Rightarrow \) \( v^2=\dfrac{a^2+b^2+2ab}{4}-ab \) -y- \( v^2=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{4} \) \( \Rightarrow \) \( v^2=\dfrac{(a-b)^2}{4} \) -y- \( v=\dfrac{a-b}{2} \) . Siendo \( v \) impar por ser \( a+b \) par como mínimo de \( 8 \) .
Y a partir de aquí, podemos llegar ya a otra suma menor de 3 cubos igual a cero.
Sabemos que \( \dfrac{u^2}{3}+v^2 \) es un cubo y que como \( u \) es múltiplo de \( 3 \) , entonces \( \dfrac{u^2}{3}+v^2=3u'\,^2+v^2 \) , para \( u'=\dfrac{u}{3} \) . Luego \( 3u'\,^2+v^2=K^3 \) , para un \( K \) entero.
Por la demostración de Euler de este caso del UTF
(VER aquí Lemma 6), conocemos que la solución primitiva en enteros de esta ecuación: \( x^2+3y^2=N^3 \) , para \( N \) impar -y- \( x,y \) enteros coprimos, es: \( x=r(r^2-9s^2) \) -y- \( y=3s(r^2-s^2) \) , para unos \( r,s \) coprimos.
Así, por este Lema tendremos ahora que \( u'=3q(p^2-q^2) \) -y- \( v=p(p^2-9q^2) \) , para unos \( p,q \) coprimos. De manera que \( p \) debe ser impar por serlo \( v \) , lo que supone que \( q \) debe ser par por serlo \( u' \) . Y si \( 2u'=6q(p^2-q^2) \) -y- \( \dfrac{2u'}{3}=2q(p^2-q^2) \) , entonces \( \dfrac{2u'}{3}=\dfrac{2u}{9} \) será siempre un cubo por serlo \( \dfrac{2u}{3^{3k-1}}=\dfrac{a+b}{3^{3k-1}} \) . Por lo que \( 2q \) -y- \( p^2-q^2 \) , ambos coprimos, serán también cubos. Y lo mismo: \( p+q \) -y- \( p-q \) . Luego: \( p+q-p+q=2q \) representará una suma de tres cubos igual a cero menores que los de la ecuación de partida, si: \( a'{\color{red}\,^3}=p+q \) ; \( b'{\color{red}\,^3}=-(p-q) \) ; \( c'{\color{red}\,^3}=-2q \) -y- : \( \pmb{a'\,^3+b'\,^3+c'\,^3=0} \) .
Un saludo,
Corregido el 2 de noviembre
