Hola, corrijo el Lema V.
Supongamos que \( \pmb{a^3+b^3+c^3=0} \) , para \( a,b,c \) enteros y coprimos entre sí.
Si \( 3 \) no divide á \( abc \) . Entonces, puesto que \( (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^3=\{0,1,-1\} \) , tendremos que \( a^3+b^3+c^3\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) . Lo que no puede ser.
Establezcamos pues, sin perder generalidad, que \( 3^k \) , para \( k\in{\mathbb{N}} \) , divide á \( c \) .
Lema I: Si \( \alpha^3 \) , para \( \alpha\in{\mathbb{Z}(\omega)} \) , no es múltiplo de \( 3 \) ni de \( 2 \) , entonces \( \alpha^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 9 \) -y- \( \alpha^3\equiv{1} \) mod \( 2 \) .
Tomemos \( \alpha=a+b\omega \) , para \( a,b \) enteros y coprimos. Entonces: \( \alpha^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3\omega^3 \) . Módulo \( 9 \) , podemos encontrarnos con estas dos situaciones: Que \( a \) ó \( b \) sean uno de ellos múltiplo de \( 3 \) ó que \( a\equiv{b} \) mod \( 3 \) . Puesto que si \( a\equiv{-b} \) mod \( 3 \) , entonces \( 3 \) dividirá á \( a+b \) -y- por lo tanto, al menos, \( \lambda=\omega-1 \) de \( 3=-\omega^2\lambda^2 \) , también dividirá á \( a+b\omega \) , ya que \( a+b\omega\equiv{a+b} \) mod \( \lambda \) \( (\omega\equiv{1} \) mod \( \lambda) \) . En la primera de las situaciones, \( \alpha^3 \) es congruente módulo \( 9 \) con \( b^3 \) ó \( a^3 \) , según sea el caso. Y en la segunda situación, tendríamos que \( (a+b\omega)^3\equiv{b^3+3b^3\omega+3b^3\omega^2+b^3\omega^3}\equiv{2b^3-3b^3}\equiv{-b^3} \) . Luego en todos los casos \( \alpha^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 9 \) .
Módulo \( 2 \) , tenemos también que \( (a+b\omega)^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3\omega^3\,=\,a^3+b^3+3ab\omega(a+b\omega) \) . Y al ser \( 2 \) primo en \( \mathbb{Z}(\omega) \) , podemos encontrarnos con estas dos situaciones: Que \( a \) ó \( b \) sean uno de ellos pares; y en consecuencia \( \alpha^3 \) será congruente con \( 1 \) con \( b^3 \) ó \( a^3 \) , según sea el caso. Ó que los dos, \( a,b \) , sean impares; pero entonces \( (a+b\omega)^3\equiv{1+3\omega+3\omega^2+1}=-1\equiv{1} \) . En definitiva, en todos los casos \( \alpha^3\equiv{1} \) mod \( 2 \) .
Lema II: Si \( a^3+b^3+c^3=0 \) , \( 3 \) solamente divide al cubo que es par.
Supongamos sin perder generalidad, que \( 2^l \) , para \( l\in{\mathbb{N}} \) , divide á \( a \) -y- que \( 3^k \) divide á \( c \) . Entonces, como \( -b^3=a^3+c^3 \) -y- \( -b^3=(a+c)(a+c\omega)(a+c\omega^2) \) . Tendremos que: \( a+c\omega=\epsilon\alpha^3 \) , para \( \epsilon \) una unidad de \( \mathbb{Z}(\omega) \) -y- \( \alpha^3 \) un cubo entero de Eisenstein . Como \( \alpha^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 3 \) , si éste no lo divide (Lema I) -y- : \( a+c\omega\equiv{1} \) mod \( 3 \) ; si establecemos que \( a^3+b^3+c^3\equiv{0} \) mod \( 3 \) \( \Rightarrow \) \( 1-1+0 \) . Entonces \( \epsilon\alpha^3\equiv{1} \) mod \( 3 \) -y- \( \pm\epsilon\equiv 1 \) . De esta manera, sólo puede ser: \( \epsilon=1 \) . Pero por el Lema I también conocemos que \( \alpha^3\equiv{1} \) mod \( 2 \) , si éste no lo divide. Y : \( a+c\omega\equiv\omega \) mod \( 2 \) \( \Rightarrow \) \( \epsilon\alpha^3\equiv\omega \) mod \( 2 \) ; donde \( \epsilon\equiv\omega \) . Pero esto no puede ser porque antes demostramos que \( \epsilon=1 \) .
Así, si \( -c^3=a^3+b^3 \) , como \( 2 \) -y- \( 3 \) , como mínimo, dividirán á \( c \) (Lema II); entonces \( -2^{3l}3^{3k}c`\,^3=a^3+b^3 \) \( \Rightarrow \) \( -2^{3l}3^{3k}c`\,^3=(a+b)((a+b)^2-3ab) \) . Y como \( a+b \) -y- \( (a+b)^2-3ab \) son coprimos salvo por \( 3 \) . Si divido ahora entre \( 3^{3k} \) en ambos lados de la igualdad, tendré \( -2^{3l}c`\,^3=\left({\dfrac{a+b}{3^{3k-1}}}\right)\left({\dfrac{(a+b)^2}{3}-ab}\right) \) -y : \( \dfrac{a+b}{3^{3k-1}} \) , \( \dfrac{(a+b)^2}{3}-ab \) serán cubos. Como \( a+b \) es par, pues \( a,b \) son impares, voy a llamarlo \( 2u \) para un \( u \) entero. De esta forma, el cubo \( \dfrac{(a+b)^2}{3}-ab \) será igual á \( \dfrac{4u^2}{3}-ab \) . Y si llamo \( u'=\dfrac{u}{3^{3k-1}} \) . Entonces \( -2^{3l}c`\,^3=2u'\left({\dfrac{4u^2}{3}-ab}\right) \) -y- \( 2u' \) será un cubo también.
Lema III: Si \( 2u=a+b \) , existe un entero \( v \) tal que \( \dfrac{4u^2}{3}-ab=\dfrac{u^2}{3}+v^2 \) .
Operamos: \( v^2=\dfrac{4u^2}{3}-\dfrac{u^2}{3}-ab \) -y- \( v^2=u^2-ab \) \( \Rightarrow \) \( v^2=\dfrac{a^2+b^2+2ab}{4}-ab \) -y- \( v^2=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{4} \) \( \Rightarrow \) \( v^2=\dfrac{(a-b)^2}{4} \) -y- \( v=\dfrac{a-b}{2} \) .
A partir de aquí, podemos llegar a otra suma de 3 cubos menores igual a cero.
Sabemos que \( \dfrac{u^2}{3}+v^2 \) es un cubo y que entonces \( \dfrac{u^2}{3}+v^2=\left({v+\dfrac{u}{\sqrt{-3}}}\right)\left({v-\dfrac{u}{\sqrt{-3}}}\right) \) . Por lo que nos situamos ahora en el anillo \( \mathbb{Z}(\sqrt{-3}) \) .
Lema IV: \( \mathbb{Z}(\sqrt{-3}) \) se comporta como un Dominio de Factorización Única para todos sus primos impares.
Conocemos que \( \mathbb{Z}\left({\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}}\right)\supset\mathbb{Z}(\sqrt{-3}) \) -y- que \( \mathbb{Z}\left({\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}}\right) \) , que representa el Z-orden máximo de \( \mathbb{Q}(\sqrt{-3}) \) , es un DFU. Sabemos también que \( \mathbb{Z}(\sqrt{-3}) \) no lo es porque específicamente siendo \( 2 \) irreducible en este anillo no es a la vez primo, dado que en la factorización de, por ejemplo: \( 4=(1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3}) \) , \( 2 \) no divide ni á \( 1+\sqrt{-3} \) ni á \( 1-\sqrt{-3} \) . Luego para un primo de la forma \( a+b\sqrt{-3} \) , con \( a,b \) enteros usuales, cuya norma \( a^2+3b^2 \) es impar; a la vista de lo anterior, es claro que, por una parte: \( 2\notin{\{a_i+b_i\sqrt{-3}}\}\subset{\mathbb{Z}\left({\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}}\right)} \) -y- que si \( 2\notin{\mathbb{Z}\left({\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}}\right)} \) , entonces: \( \mathbb{Z}\left({\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}}\right)=\mathbb{Z}(-1+\sqrt{-3})\subset{\mathbb{Z}(\sqrt{-3})} \) .
Como \( \dfrac{u^2}{3}+v^2 \) es impar por serlo \( v \) al ser \( a+b \) par como mínimo de \( 8 \) . Entonces estamos hablando solamente de primos impares en esta factorización: \( \left({v+\dfrac{u}{\sqrt{-3}}}\right)\left({v-\dfrac{u}{\sqrt{-3}}}\right) \) en \( \mathbb{Z}(\sqrt{-3}) \) . Por lo que según el Lema IV, como \( v+\dfrac{u}{\sqrt{-3}} \) -y- \( v-\dfrac{u}{\sqrt{-3}} \) son coprimos y terceras potencias; pues su suma y su diferencia, respectivamente, es: \( 2v \) -y- \( \dfrac{2u}{\sqrt{-3}} \) -y- \( 4 \) no divide á \( \dfrac{u^2}{3}+v^2 \) ; existirá un \( \epsilon_1\left({p+\dfrac{q}{\sqrt{-3}}}\right)^3=v+\dfrac{u}{\sqrt{-3}} \) -y- un \( \epsilon_2\left({p-\dfrac{q}{\sqrt{-3}}}\right)^3=v-\dfrac{u}{\sqrt{-3}} \) , para \( p,q \) enteros y coprimos -y- \( \epsilon_1,\epsilon_2 \) unidades de \( \mathbb{Z}(\sqrt{-3}) \) . Luego si \( s^3=\dfrac{u^2}{3}+v^2 \) , entonces: \( s^3=\epsilon_1\epsilon_2\left(p+\dfrac{q}{\sqrt{-3}}\right)^3\left(p-\dfrac{q}{\sqrt{-3}}\right)^3 \) -y-, sin pérdida de generalidad \( s=\left(p+\dfrac{q}{\sqrt{-3}}\right)\left(p-\dfrac{q}{\sqrt{-3}}\right)=p^2+\dfrac{q^2}{3} \) , dado que las unidades en \( \mathbb{Z}(\sqrt{-3}) \) son \( \pm 1 \) . Por lo que: \( \dfrac{u^2}{3}+v^2=\left (p^2+\dfrac{q^2}{3}\right )^3 \) .
Lema V: Si \( \dfrac{a^2}{3}+b^2=\left(c^2+\dfrac{d^2}{3}\right)^3 \) , para \( a,b,c,d \) enteros, \( a,d \) múltiplos de \( 3 \) , \( mcd(a,b)=1 \) -y- \( mcd(c,d)=1 \) ; entonces \( a=d\left(3c^2-\dfrac{d^2}{3}\right) \) -y- \( b=c(c^2-d^2) \) .
Por la demostración de Euler de este caso ( VER
(1) ,
(2) , ó con más detalle
Aquí ) conocemos que si \( e^2+3f^2=(g^2+3h^2)^3 \) , para \( e,f,g,h \) enteros, \( mcd(e,f)=1 \) -y- \( mcd(g,h)=1 \) ; entonces: \( e=g(g^2-9h^2) \) -y- \( f=3h(g^2-h^2) \) .
Sólo hay que hacer las siguientes sustituciones, sin pérdida de generalidad, de uno a otro caso: \( e=b \) , \( f=\dfrac{a}{3} \) , \( g=c \) , \( h=\dfrac{d}{3} \) . Y entonces:
\( \dfrac{a^2}{3}+b^2 \) \( \Leftrightarrow \) \( 3f^2+e^2 \)
\( e=g(g^2-9h^2) \) \( \Leftrightarrow \) \( b=c\left(c^2-9\dfrac{d^2}{9}\right) \) \( \Rightarrow \) \( b=c(c^2-d^2) \)
\( f=3h(g^2-h^2) \) \( \Leftrightarrow \) \( \dfrac{a}{3}=d\left(c^2-\dfrac{d^2}{9}\right) \) \( \Rightarrow \) \( a=d\left(3c^2-\dfrac{d^2}{3}\right) \)
Luego por el Lema V, tendremos que \( u=q\left(3p^2-\dfrac{q^2}{3}\right) \) -y- \( v=p(p^2-q^2) \) . De manera que \( p \) debe ser impar por serlo \( v \) , lo que supone que \( q \) debe ser par por serlo \( u \) . De esta manera \( 2u=2q\left(3p^2-\dfrac{q^2}{3}\right) \) -y- \( \dfrac{2u}{3^{3k-1}}=\dfrac{2q}{3^{3k-2}}\left(p^2-\dfrac{q^2}{9}\right) \) . Esto es: \( 2u'=\dfrac{2q}{3^{3k-2}}\left(p^2-\dfrac{q^2}{9}\right) \) . Donde sabemos que \( 2u' \) es un cubo y que por lo tanto ahora, \( \dfrac{2q}{3^{3k-2}} \) -y- \( p^2-\dfrac{q^2}{9} \) también lo serán. Así; como \( p^2-\dfrac{q^2}{9}=\left(p+\dfrac{q}{3}\right)\left(p-\dfrac{q}{3}\right) \) -y- ambos factores son coprimos; entonces \( p+\dfrac{q}{3}-p+\dfrac{q}{3}=\dfrac{2q}{3} \) representará una posible suma de tres cubos igual a cero, puesto que \( \dfrac{2q}{3} \) siempre será un cubo si lo es \( \dfrac{2q}{3^{3k-2}} \) . Luego: \( \pmb{a'\,^3+b'\,^3+c'\,^3=0} \) , si : \( a'\,^3=p+\dfrac{q}{3} \) ; \( b'\,^3=-p+\dfrac{q}{3} \) ; \( c'\,^3=-\dfrac{2q}{3} \) .
Un saludo,
Editado - 24 de octubre
