[crishchess]

Hola necesito ayuda con este ejercicio (muy similar a uno que publique hacen unos días) ya que tengo algunas dudas y necesito resolverlo con la mayor rigurosidad matemática posible.

Determine el dominio de definición de la función compuesta \( f\circ{}g(x)=f(g(x)) \) (o sea, el conjunto de todos aquellos \( x \in (-\infty ,+\infty) \) para los cuales están bien definidos ambos \( g(x)  \)y \( f(g(x))) \). Luego determine los intervalos donde la función compuesta es continua. Escoge uno de los puntos terminales (se denota como \( a \) en continuación) de estos intervalos de continuidad y calcule uno de los lımites unilaterales \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\pm{}}{f(g(x))} \)

\( g(x) = \displaystyle\frac{3x}{x+4} , x \neq -4 \)          \( f(x) = \displaystyle\frac{4x}{x+5}, x \neq -5 \)

- Lo que he hecho:

- Calculando la función compuesta

\( f\circ{}g(x)=f(g(x))=f(\displaystyle\frac{3x}{x+4}) = \displaystyle\frac{4(\displaystyle\frac{3x}{x+4})}{\displaystyle\frac{3x}{x+4}+5}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{12x}{x+4}}{\displaystyle\frac{3x+5x+20}{x+4}} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{12x}{x+4}}{\displaystyle\frac{8x+20}{x+4}} \)

¿Para calcular el dominio de definición de la función compuesta esta permitido simplificar \( x+4 \) o lo debo dejar así?

Si lo simplifico va a quedar \( f\circ{}g(x)=f(g(x))= \displaystyle\frac{12x}{8x+20} \)

- Calculando el dominio de definición

El denominador debe ser distinto de cero

\( 8x +20 \neq 0 \)
\( x \neq = \displaystyle\frac{5}{2} \)

\( Dom \ f\circ{g} \ = \ \mathbb{R}- \{ -\displaystyle\frac{5}{2} \} \)

- Continuidad

Veamos si tiene una asíntota vertical en \( x = -\displaystyle\frac{5}{2} \)

Si tiene una asíntota vertical debe cumplirse que \( \displaystyle\lim_{x \to{-}5/2}{f\circ{g}= \pm{\infty}} \)

 \( \displaystyle\lim_{x \to{-}5/2}{\displaystyle\frac{12x}{8x+20}= \displaystyle\frac{-30}{0} = - \infty} \)

Por lo tanto la función tiene una asintota vertical en \( x= - \displaystyle\frac{5}{2} \)

La función es continua en el intervalo \( ]-\infty, - \displaystyle\frac{5}{2}[ \cup{} ]-\displaystyle\frac{5}{2}, + \infty [ \)

¿Es correcto lo que he hecho?¿Es válido simplificar para calcular el dominio de definición?

Saludos

[martiniano]

Hola.

Determine el dominio de definición de la función compuesta \( f\circ{}g(x)=f(g(x)) \) (o sea, el conjunto de todos aquellos \( x \in (-\infty ,+\infty) \) para los cuales están bien definidos ambos \( g(x)  \)y \( f(g(x))) \). Luego determine los intervalos donde la función compuesta es continua. Escoge uno de los puntos terminales (se denota como \( a \) en continuación) de estos intervalos de continuidad y calcule uno de los lımites unilaterales \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\pm{}}{f(g(x))} \)

\( g(x) = \displaystyle\frac{3x}{x+4} , x \neq -4 \)          \( f(x) = \displaystyle\frac{4x}{x+5}, x \neq -5 \)

- Lo que he hecho:

- Calculando la función compuesta

\( f\circ{}g(x)=f(g(x))=f(\displaystyle\frac{3x}{x+4}) = \displaystyle\frac{4(\displaystyle\frac{3x}{x+4})}{\displaystyle\frac{3x}{x+4}+5}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{12x}{x+4}}{\displaystyle\frac{3x+5x+20}{x+4}} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{12x}{x+4}}{\displaystyle\frac{8x+20}{x+4}} \)

¿Para calcular el dominio de definición de la función compuesta esta permitido simplificar \( x+4 \) o lo debo dejar así?

Puedes simplificar si quieres y luego hacer lo que has hecho, pero debes tener en cuenta, y aquí es donde has fallado, que la simplificación sólo es correcta si \[ x+4\neq 0 \]. Por lo que para saber si \[ x=-4 \] está o no en el dominio no podemos hacer uso de la función simplificada. En este caso no lo está porque se anulan denominadores en la expresión original de la función.

Un saludo.

[crishchess]

Hola.

Determine el dominio de definición de la función compuesta \( f\circ{}g(x)=f(g(x)) \) (o sea, el conjunto de todos aquellos \( x \in (-\infty ,+\infty) \) para los cuales están bien definidos ambos \( g(x)  \)y \( f(g(x))) \). Luego determine los intervalos donde la función compuesta es continua. Escoge uno de los puntos terminales (se denota como \( a \) en continuación) de estos intervalos de continuidad y calcule uno de los lımites unilaterales \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\pm{}}{f(g(x))} \)

\( g(x) = \displaystyle\frac{3x}{x+4} , x \neq -4 \)          \( f(x) = \displaystyle\frac{4x}{x+5}, x \neq -5 \)

- Lo que he hecho:

- Calculando la función compuesta

\( f\circ{}g(x)=f(g(x))=f(\displaystyle\frac{3x}{x+4}) = \displaystyle\frac{4(\displaystyle\frac{3x}{x+4})}{\displaystyle\frac{3x}{x+4}+5}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{12x}{x+4}}{\displaystyle\frac{3x+5x+20}{x+4}} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{12x}{x+4}}{\displaystyle\frac{8x+20}{x+4}} \)

¿Para calcular el dominio de definición de la función compuesta esta permitido simplificar \( x+4 \) o lo debo dejar así?

Puedes simplificar si quieres y luego hacer lo que has hecho, pero debes tener en cuenta, y aquí es donde has fallado, que la simplificación sólo es correcta si \[ x+4\neq 0 \]. Por lo que para saber si \[ x=-4 \] está o no en el dominio no podemos hacer uso de la función simplificada. En este caso no lo está porque se anulan denominadores en la expresión original de la función.

Un saludo.

Entonces debo calcularle el dominio a esta función \( f\circ{g} =\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{12x}{x+4}}{\displaystyle\frac{8x+20}{x+4}}
= \displaystyle\frac{12x(x+4)}{(8x+20)(x+4)}  \)

Lo que implica que el dominio \(  f\circ{g} \ = \mathbb{R} - \{-5/2, -4 \} \)

Saludos

[martiniano]

Hola.

Sí, el dominio de \[ f\circ{g} \] es \[ \mathbb{R}-\{-5/2,-4\} \]

Un saludo.