[Xtimmler]

Hola, foro gracias por ayudarme en el ejercicio anterior tengo un problema que ya resolví, pero quiero saber si es posible llegar a la solución de manera más simple y rápida.
"Un tubo cilíndrico de radio "\( a \)" y largo "\( L \)" de material dieléctrico tiene una densidad volumétrica "ρ" constante y positiva y se le practican dos orificios longitudinales como se aprecia en el corte seccional. Cada uno de los orificios tienen radio "\( \frac{a}{2} \)" y largo
\( L \)" Recurriendo a la ley de gauss y el principio de superposición, calcular el valor del campo eléctrico en el punto (\( \frac{a}{2},0 \))."



Yo lo resolví calculando el área dentro del círculo usando integrales.



Me quedo la integral:

\( 4\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{a}{2}}\left(\sqrt{\dfrac{a^2}{4}-x^2}-\sqrt{\dfrac{ax}{2}-x^2}\right) = \displaystyle\frac{πa^2}{8} \)

y aplicando Gauss me quedo \( \displaystyle\frac{ρa}{8\epsilon_0} \)

La respuesta está bien, pero el tema es que este es un problema de examen y la integral lleva un tiempo para resolver, yo supongo que debe haber otro método más fácil de resolver el problema sin integrar o con integrales rápidas.


 

[JCB]

Hola a tod@s.

Considero un cilindro de radio \( R \), infinitamente largo, de material dieléctrico y cargado con una densidad volumétrica \( \rho \). Aplico la ley de Gauss, obteniendo que el campo eléctrico en el interior del cilindro es

\( E_i=\dfrac{\rho r}{2\epsilon_0} \)

De forma parecida, se obtiene el campo eléctrico en el exterior

\( E_e=\dfrac{\rho R^2}{2\epsilon_0 r} \)

Aplico el principio de superposición en el punto solicitado, considerando tres cilindros: el primero con densidad volumétrica \( \rho \) y radio \( a \). El segundo (a la izquierda en la figura), con densidad volumétrica \( -\rho \) y radio \( \dfrac{a}{2} \). El tercero (a la derecha en la figura), también con densidad volumétrica \( -\rho \) y radio \( \dfrac{a}{2} \).

\( E_1=\dfrac{\rho r}{2\epsilon_0}=\dfrac{\rho a/2}{2\epsilon_0}=\dfrac{\rho a}{4\epsilon_0} \)

\( E_2=\dfrac{\rho R^2}{2\epsilon_0 r}=\dfrac{-\rho (a/2)^2}{2\epsilon_0 a}=\dfrac{-\rho a}{8\epsilon_0} \)

\( E_3=0 \)

\( E_{total}=\dfrac{\rho a}{8\epsilon_0} \)

Nota: no entiendo el motivo del cálculo de la integral que indicas.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Nota: no entiendo el motivo del cálculo de la integral que indicas.

Coincido, con JCB
en caso de poderse de resolver por medio de una o varias integrales, , esas no son ni las funciones  que tu debes integrar, ni tampoco es el resultado de esas integrales el que presentas.