Hola
Sea \( \Bbb E=\{A_1,A_2,...,A_n\} \) una familia de conjuntos dada de \( \mathcal P(X) \). Denotamos
\( \displaystyle{
A^a=\begin{cases}
A,&\text{ si }a=0\\
A^c,&\text{ si }a=1
\end{cases}
} \)
Para cada \( A=(a_1,a_2,....,a_n) \in\{0,1\}^n \) definimos \( E_a=A_1^{a_1} \cap A_2^{a_2} \cap\ldots \cap A_n^{a_n} \). Pruebe:
i) \( \mathcal A(\Bbb E)=\left\{\bigcup_{a\in D}E_a: D \subset\{0,1\}^n\right\} \) (convenimos en poner \( \bigcup_{a\in \emptyset }E_a=\emptyset \)) donde \( \mathcal{A}(C) \) es la \( \sigma \)-álgebra generada por \( C \).
Fíjate que:
\( A_i=\bigcup_{a\in D_i}E_a \) donde \( D_i=\{(a_1,a_2,\ldots,a_n)\in \{0,1\}^n|a_i=0\} \)
y
\( A_i^c=\bigcup_{a\in D_i}E_a \) donde \( D_i=\{(a_1,a_2,\ldots,a_n)\in \{0,1\}^n|a_i=1\} \)
No consigo expresar cada elemento \( A \) como un elemento de una unión de elementos de \( \mathcal A(\Bbb E) \).
No sé muy bien que quieres decir con eso.
Lo que tienes que probar es que la unión de elementos de \( \mathcal A(\Bbb E) \) vuelve a ser un elemento de \( \mathcal A(\Bbb E) \). Eso es inmediato de la definición.
También que la intersección de elementos de \( \mathcal A(\Bbb E) \) vuelve a ser un elemento de \( \mathcal A(\Bbb E) \). Pero basta que uses la propiedad distributiva de la unión respecto de la intersección y que notes que:
\( E_a\cap E_a'=\begin{cases}{E_a}&\text{si}& a=a'\\\emptyset & \text{si}& a\neq a'\end{cases} \)
Para el complementario usa las Leyes de Morgan. El complementario de la unión es la intersección de complementarios y viceversa; y con lo que te he apuntado al principio debería de salirte.
ii) Concluya que \( \#(\mathcal{A}(\Bbb E))\le 2^{2^n} \).
Simplemente ten en cuenta que \( card(\{0,1\}^n)=2^n \) y \( card({\cal P}(\{0,1^n\})=2^{card(\{0,1\}^n)}
\)
Saludos.
