[annna]

Hola, cómo están?
Tengo la siguiente serie de funciones \( h_n(x)=\displaystyle\frac{(1+x^2)cos(nx)}{n^2+x^2} \)
1) Probé que converge puntualmente en R,   a la función nula.
2) La convergencia Uniforme en R la descarté usando que \( h_n(n) \) no converge a cero.
3) Quiero probar que la suceción \( h_n(x) \) si, converge uniformemente en los intervalos de la forma [-a;a] con a real. Pero en este último punto me he hecho un gran lio con las cuentas, pues intenté ver que la sucesion de supremos del conjunto \( {|h_n(x)-0|, con x \in{}[-a;a]} \) converge a cero.

Agradecería cualquier comentario. sobre todo en el punto 3

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, cómo están?
Tengo la siguiente serie de funciones \( h_n(x)=\displaystyle\frac{(1+x^2)cos(nx)}{n^2+x^2} \)
1) Probé que converge puntualmente en R,   a la función nula.
2) La convergencia Uniforme en R la descarté usando que \( h_n(n) \) no converge a cero.
3) Quiero probar que la suceción \( h_n(x) \) si, converge uniformemente en los intervalos de la forma [-a;a] con a real. Pero en este último punto me he hecho un gran lio con las cuentas, pues intenté ver que la sucesion de supremos del conjunto \( {|h_n(x)-0|, con x \in{}[-a;a]} \) converge a cero.

Agradecería cualquier comentario. sobre todo en el punto 3

Acota. Si \( x\in [-a,a] \),

\( \left|\displaystyle\frac{(1+x^2)cos(nx)}{n^2+x^2}\right|\leq \dfrac{1+a^2}{n^2} \)

Saludos.

[delmar]

Hola

Solamente para complementar el aporte de Luis Fuentes

\( \left |{cos nx}\right |\leq{1}\Rightarrow{\left |{\displaystyle\frac{(1+x^2) cos nx}{n^2+x^2}}\right |\leq{\displaystyle\frac{1+x^2}{n^2+x^2}}\leq{\displaystyle\frac{1+x^2}{n^2}}\leq{\displaystyle\frac{1+a^2}{n^2}}} \) la serie correspondiente a la última sucesión converge, se puede probar por el criterio de paso al límite referido a la serie \( \displaystyle\sum_{}^{}\displaystyle\frac{1}{n^2} \) la cual es convergente, en consecuencia por el criterio de WEIRSTRASS la serie de funciones en \( [-a,a] \).......



Saludos

[annna]

Ah bien, gracias,  yo había probado en la siguiente parte que la serie generada por h_n  converge absolutamente, en los intervalos [-a;a], pero no me había dado cuenta de usar la condición necesaria de convergencia en series.

Muchas gracias por las prontas respuestas.