[annna]

Hola, cómo están?

Necesito indagar para qué valores reales la serie de funciones \( \displaystyle\sum_{}^{}\displaystyle\frac{nx}{n+1}e^{-nx} \) resulta convergente.

Lo que tengo pensado es:

si x<0, la sucesión \( (\displaystyle\frac{nx}{n+1}e^{-nx}) \) no tiende a cero, asi que la serie no es convergente.

Si x=0, la serie es trivialmente convergente y su suma es cero.

Pero si x>0, no se me ocurre cómo ver que la serie converge.

Si pueden darme alguna ayuda, agradezco. Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

Necesito indagar para qué valores reales la serie de funciones \( \displaystyle\sum_{}^{}\displaystyle\frac{nx}{n+1}e^{-nx} \) resulta convergente.

Lo que tengo pensado es:

si x<0, la sucesión \( (\displaystyle\frac{nx}{n+1}e^{-nx}) \) no tiende a cero, asi que la serie no es convergente.

Si x=0, la serie es trivialmente convergente y su suma es cero.

Pero si x>0, no se me ocurre cómo ver que la serie converge.

Fíjate que en ese caso:

\( \displaystyle\sum_{}^{}\displaystyle\frac{nx}{n+1}e^{-nx}<\displaystyle\sum_{}^{}\color{red}x e^{-nx}\color{black} \)

que es una serie geométrica.

Saludos.

CORREGIDO

[annna]

Hola Luis, gracias por responderme.
Con esa acotación procedo creo sin problema, pero me gustaría poder justificar dicha desigualdad y no me doy cuenta cómo.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola Luis, gracias por responderme.
Con esa acotación procedo creo sin problema, pero me gustaría poder justificar dicha desigualdad y no me doy cuenta cómo.

La había escrito mal. Simplemente uso que \( \dfrac{n}{n+1}<1 \).

Saludos.

[annna]

Lujo Luis, con esto si me convence.
Ahora voy a intentar buscar la suma

[Luis Fuentes]

Hola

Lujo Luis, con esto si me convence.
Ahora voy a intentar buscar la suma

Como ayuda para la suma nota que si llamas:

\( f(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}\dfrac{t^{n}}{n+1} \)

\( F(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}t^{n+1} \)

se tiene que \( F'(t)=f(t) \). Pero \( F(t) \) es una serie geométrica cuya suma es conocida \( \dfrac{t}{1-t} \).

Saludos.