[cooperA]

Hola a todos! adjunto una imagen con un ejercicio, les agradezco si me dan una mano para hacer la prueba que pide!
muchas gracias

Teorema 1.4.2. Sean \( C_1 \) y \( C_2 \) conjuntos cerrados no vacíos en un espacio de Hilbert \( H \) de dimensión finita. Para cualquier valor inicial \( y_0\in C_2 \), con \( x_1=P_{C_1}(y_0) \), \( y_1=P_{C_2}(x_1) \) y \( x_2=P_{C_1}(y_1) \), entonces:

\( \|x_2-y_1\|\leq \|x_1-y_1\|\leq \|x_1-y_0\| \)

Probar 1.4.2.

Mensaje corregido desde la administración.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

[Masacroso]

Hola a todos! adjunto una imagen con un ejercicio, les agradezco si me dan una mano para hacer la prueba que pide!
muchas gracias

Debes seguir las pautas que te he indicado aquí también para este hilo. Además para preguntar sobre ejercicios diferentes usamos temas diferentes, por eso he abierto dos temas nuevos con tus preguntas.

[Masacroso]

Teorema 1.4.2. Sean \( C_1 \) y \( C_2 \) conjuntos cerrados no vacíos en un espacio de Hilbert \( H \) de dimensión finita. Para cualquier valor inicial \( y_0\in C_2 \), con \( x_1=P_{C_1}(y_0) \), \( y_1=P_{C_2}(x_1) \) y \( x_2=P_{C_1}(y_1) \), entonces:

\( \|x_2-y_1\|\leq \|x_1-y_1\|\leq \|x_1-y_0\| \)

Probar 1.4.2.

Una idea, para empezar, sería observar que la desigualdad dada es equivalente a esta otra

\( \displaystyle{
\|x_2-y_1\|^2\leq \|x_1-y_1\|^2\leq \|x_1-y_0\|^2
} \)

y que en general \( \|a-b\|^2=\langle a-b,a-b \rangle =\|a\|^2+\|b\|^2-2 \operatorname{Re}(\langle a,b \rangle ) \), si el espacio es sobre \( \mathbb{C} \), o simplemente \( \|a-b\|^2=\|a\|^2+\|b\|^2-2\langle a,b \rangle  \) cuando es sobre \( \mathbb{R} \). Luego por definición tenemos que \( \|P_C(v)\|\leqslant \|v\| \). Expande utilizando las igualdades y mira si lo que queda es lo suficientemente simple para llegar a la conclusión.

Añadido: entiendo que las proyecciones son ortogonales.

[Masacroso]

cooperA me ha enviado por privado un enlace con un scan de la página donde aparece el ejercicio pidiendo por favor si le podía ayudar ya que no había podido finalizar con lo que le había dicho. Lo cierto es que en mi contestación anterior había asumido implícitamente que tanto \( C_1 \) como \( C_2 \) eran dos subespacios cerrados, pero tan sólo son dos subconjuntos cerrados.

Por otra parte para resolver el ejercicio no hace falta realmente recurrir a las manipulaciones algebraicas que dejaba (incluso aunque fuesen subespacios cerrados), es mucho más sencillo que eso, ya que se sigue de la definición de proyección dada sobre un subconjunto cerrado cualquiera (que no aparece en el tema original) que es ésta: se dice que \( w\in C \), para un subconjunto cerrado \( C \), es una proyección de un vector \( v \) en \( C \) si resulta que \( \|v-w\|\leqslant \|v-z\| \) para todo \( z\in C \).

Ahora bien, sobre el ejercicio, cualquiera de las desigualdades se sigue automáticamente de esta definición, por ejemplo en la segunda tenemos que

\( \displaystyle{
\|x_1-y_1\|\leqslant \|x_1-y_0\|
} \)

ya que \( y_1,y_0\in C_2 \) pero al ser \( y_1 \) proyección en \( C_2 \) de \( x_1 \) entonces la distancia \( \|x_1-y_1\| \) es mínima. Para la otra desigualdad el razonamiento es el mismo. Espero cooperA que ahora ya sí tengas todo más claro, la próxima vez plantea las dudas o inconvenientes que encuentres públicamente.