[S.S]

Hola a todos, tengo lo siguiente:

Se me pide un ejemplo de un campo de vectores en el toro con exactamente dos puntos singulares.
No sé como proceder, pensaba intentar definir un campo con dos singularidades en el cuadrado \( Q = [0,1] \times [0,1] \) y luego enviarlo con con la parametrización del toro \( \phi(u.v) = ((2+cos(v)cos(u)), (2+cos(v) sen(u)),sen(v)) \), pero la verdad no sé. .

[geómetracat]

Lo puedes hacer así si quieres, sí, pero debes tener en cuenta que el campo en el cuadrado debe ser periódico (el valor en un lado debe ser igual al del lado opuesto). Yo prefiero pensar directamente que el toro es \[ S^1 \times S^1 \] y trabajar con los dos ángulos.

Entonces la idea es trabajar en los dos factores por separado. Si quieres un campo en el toro que tenga dos puntos singulares, basta con encontrar un campo en \[ S^1 \] que tenga dos puntos singulares y otro en \[ S^1 \] que tenga un único punto singular.

Por ejemplo, puedes tomar \[ (\theta,\phi) \mapsto \sin(\theta) \partial_\theta + \sin(\phi/2) \partial_\phi \].
Este campo se anula exactamente cuando \[ \sin(\theta)=\sin(\phi/2)=0 \], es decir, cuando \[ \theta=0,\pi \] y \[ \phi=0 \] (tomando los ángulos en \[ [0,2\pi) \]). Entonces pues, este campo en el toro se anula exactamente en los dos puntos \[ (\theta,\phi)=(0,0) \] y \[ (\theta,\phi)=(\pi,0) \].

[S.S]

Hola geómetracat, gracias por la respuesta.

Si fueran mas singularidades, ¿el proceso es el mismo? ¿si fueran tres por ejemplo? (me serviría para tener mas ejemplos). Una pregunta más geometracat si fuera en una esfera y se me pidiera crear un campo con cuatro singularidades que consejo me daría? (No sé si poner esta pregunta en otro hilo).

Gracias de nuevo.

[geómetracat]

Si fueran mas singularidades, ¿el proceso es el mismo? ¿si fueran tres por ejemplo? (me serviría para tener mas ejemplos).

Sí, puedes seguir una idea parecida. Diría que con la idea que te puse en el mensaje anterior puedes obtener ejemplos con cualquier número de singularidades.

Una pregunta más geometracat si fuera en una esfera y se me pidiera crear un campo con cuatro singularidades que consejo me daría? (No sé si poner esta pregunta en otro hilo).

Con la esfera puedes usar que topológicamente es la compactificación por un punto del plano. Entonces, si quieres un ejemplo con cuatro ceros, te basta con encontrar un campo vectorial en \[ \Bbb R^2 \] con tres ceros y que se anule en el infinito (en el sentido de que, usando polares, cuando \[ r \to \infty \], \[ X_{(r,\theta)} \to 0 \]). Esto ya no debería ser muy difícil.

[S.S]

Gracias.  .

[caantamha]

Cordial saludo.

Estoy intentando comprender este ejemplo. Sin embargo, tengo una pregunta para el siguiente campo

Por ejemplo, puedes tomar \[ (\theta,\phi) \mapsto \sin(\theta) \partial_\theta + \sin(\phi/2) \partial_\phi \].

¿Cómo sé que esta en el plano tangente del toro?, ¿tengo que utilizar alguna parametrización en particular?

Muchas gracias

[geómetracat]

Ahí estoy viendo el toro como superfície abstracta, como \[ S^1 \times S^1 \], y \[ \partial_\theta,\partial_\phi \] son (por definición) los campos de vectores tangentes a cada uno de los dos factores \[ S^1 \], manteniendo el otro fijo, y forman una base del plano tangente de \[ S^1\times S^1 \].

Si estás pensando en el toro como superfície \[ T \] embebida en \[ \Bbb R^3 \] y el plano tangente en un punto como un plano afín de \[ \Bbb R^3 \], entonces tienes que usar un difeomorfismo \[ S^1\times S^1 \to T \subseteq \Bbb R^3 \] para transportar la base \[ \{\partial_\theta, \partial_\phi\} \] a una base del plano tangente de \[ T \] en \[ \Bbb R^3 \].

[caantamha]

Voy a intentar buscar el difeomorfismo porque la verdad de la otra forma no la entiendo .

Muchas gracias por la respuesta.

[Luis Fuentes]

Hola

Voy a intentar buscar el difeomorfismo porque la verdad de la otra forma no la entiendo .

Muchas gracias por la respuesta.

Pero el difeomorfismo es el que indicaba S.S en su primer mensaje:

No sé como proceder, pensaba intentar definir un campo con dos singularidades en el cuadrado \( Q = [0,1] \times [0,1] \) y luego enviarlo con con la parametrización del toro \( \phi(u.v) = ((2+cos(v))cos(u), (2+cos(v)) sen(u),sen(v)) \), pero la verdad no sé. .

Los vectores tangentes \( \delta_\theta=\delta_u \) y \( \delta_\phi=\delta_v \) que indica geómetracat como vectores de \( \Bbb R^3 \) no son más que las parciales de la parametrización, es decir, los tangentes de las curvas directrices:

\( \delta_u=\phi_u =(-(2+cos(v))sin(u), (2+cos(v)) cos(u),0) \)
\( \delta_v=\phi_v =((2-sin(v))cos(u), (2-sin(v)) sen(u),cos(v)) \)

Saludos.

P.D. Corregí unos paréntesis en la expresión de S.S.

[caantamha]

Hola.

Si es verdad ese es el difeomorfismo, no había caído en cuenta.   

Muchas, muchas gracias.