[bramnsi]

\begin{pmatrix}1&1&1&2\\ 2&3&2&5\\ 2&3&x^2-1&x+1\end{pmatrix} esta es la matriz aumentada



Determine todos los valores de x para el cual es sistema lineal resultante (a) no tenga
solución, (b) tenga solución única, y (c) tenga una infinidad de soluciones.


He resuelto la matriz pero no se como resolver lo de los valores de x, si alguien me pudiese explicar sería de mucha ayuda, como hago para plantear la solucion

[delmar]

Hola bramsi

Bienvenido al foro

Es conveniente que muestres que has hecho por resolver el problema, asi se te puede ayudar mejor


Por operaciones elementales de filas se puede transformar la matriz en triangular superior, luego considera que si el determinante de la matriz triangular superior no aumentada es distinto de cero tiene soluciona única, en caso sea cero evalua si no  tiene solución  o tiene varias soluciones y todo eso depende de x


Saludos

[bramnsi]

mira ya transforme la matriz a su forma escalonada, pero no sé como continuar, simpre tengo ese problema con ese tipo de preguntas

[ingmarov]

mira ya transforme la matriz a su forma escalonada, pero no sé como continuar, simpre tengo ese problema con ese tipo de preguntas

Esa imagen es demasiado pesada. Quizás mi internet es muy malo porque no puedo ver la imagen ni descargarla, pero hay libros completos que pesan menos que esta imagen. Deberías editarla para que sea más liviana. O mejor, hacer lo que nos mandan las reglas, escribir el procedimiento usando LaTeX.

Saludos

[bramnsi]

mira aquí esta lo que hice, lo que me dio fue que para que tenga x a la 2 -3 debe ser diferente de -+ raiz de tres

Editado desde la moderación del foro

\[ \begin{matrix}x+y+z=2\\2x+3y+2z=5\\2x+3y+(x^2-1)z=x+1\end{matrix} \]

\[ \begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}&2\\{2}&{3}&{2}&5\\{2}&{3}&{x^2-1}&x+1\end{bmatrix}\xrightarrow[R_3\leftarrow R_3-2R_1]{R_2\leftarrow R_2-2R_1}\,\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}&2\\{0}&{1}&{0}&1\\{0}&{1}&{x^2-3}&x-3\end{bmatrix}\xrightarrow{R_3\leftarrow R_3-R_2}\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}&2\\{0}&{1}&{0}&1\\{0}&{0}&{x^2-3}&x-4\end{bmatrix} \]

[ingmarov]

Por esta vez edité tu último mensaje para mostrar tu procedimiento directamente en el mensaje, debes estudiar el tutorial de LaTeX para hacerlo por ti mismo, te dejo el enlace:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=55682.msg221815#msg221815

mira aquí esta lo que hice, lo que me dio fue que para que tenga x a la 2 -3 debe ser diferente de -+ raiz de tres
...

Sí, si en la última línea \[ x=\pm\sqrt{3} \] nos queda una ecuación erronea, inconsistente, nos queda

\[ \xcancel{0=\pm\sqrt{3}-4} \]

El sistema no tiene solución para este valor de x


Saludos

[feriva]

He resuelto la matriz pero no se como resolver lo de los valores de x, si alguien me pudiese explicar sería de mucha ayuda, como hago para plantear la solucion

Si hallas el determinante de la matriz asociada (de orden tres) en este caso es facilísimo porque multiplicando por -2 la primera fila y sumando a las otras queda

\( \begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 0\\
0 & 1 & x^{2}-3
\end{pmatrix}
  \)

Con lo que, inmediatamente vemos a primera vista que, por los cofactores “1”, el determinante es \( x^{2}-3
  \).

Por tanto, si \( x^{2}-3\neq0
  \), o sea, si \( x\neq\pm\sqrt{3}
  \), tiene una sola solución.

Para analizar los otros casos usamos entonces \( x=\pm\sqrt{3}
  \); así, puedes reescribir el sistema sustituyendo; y en este caso en particular también resulta sencillísimo

\( \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 2\\
2 & 3 & 2 & 5\\
2 & 3 & 2 & \pm\sqrt{3}+1
\end{pmatrix}
  \)

Con lo que sólo tenemos dos columnas no equivalentes en la matriz asociada y de este modo, a primera vista  el rango de la matriz ampliada es en todo caso mayor que el de la otra.

Spoiler

Yo lo veo a primera vista pero a lo mejor no es tan obvio para ti: tienes que las dos columnas no equivalentes de la matriz asociada son de la forma (1,a,a) y (1,b,b) y la cuarta es del tipo (a,b,c) y con un valor irracional encima, no puede ser combinación lineal de las otras.

[cerrar]

Saludos.