[Miguelfonse]

Demuestre que toda matriz diagonal es simétrica sabiendo que A a la transpuesta es igual a A

[delmar]

Hola Miguelfonse

Bienvenido al foro

Es conveniente que muestres que has hecho por resolver el problema, de esa manera se te puede ayudar mejor.

Por definición una matriz A cuadrada,  \( A=(a_{ij})_{i,j=1}^{n,n} \) es diagonal si y solo si \( a_{ij}=0, \ \ \forall{i\neq j} \), es decir todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son necesariamente cero. Ahora A es simétrica si y solo si \( a_{ij}=a_{ji}, \ \forall{i,j} \) veamos si eso se cumple :

Por ser diagonal si \( i\neq j, \ \ a_{ij}=0, \ a_{ji}=0\Rightarrow{a_{ij}=a_{ji}} \)

si \( i=j\Rightarrow{a_{ij}=a_{ii}=a_{ji}}\Rightarrow{a_{ij}=a_{ji}} \)


Por lo tanto \( a_{ij}=a_{ji} \ \ \forall{i,j} \)


¿Es A simétrica por definición?



Saludos

[Miguelfonse]

lo único que me piden es que demuestre que se cumple que todas las matrices diagonales son simétricas, ,me dicen que una matriz es diagonal si su transpuesta es igual a la misma matriz, nada más.

muchas gracias por la ayuda

[delmar]

Esa definición que te han dado es incorrecta por ejemplo si \( B=\begin{pmatrix}{2}&{7}\\{7}&{6}\end{pmatrix}\Rightarrow{B=B^T} \) pero obviamente no es diagonal para que lo sea todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal han de ser cero, por ejemplo \( C=\begin{pmatrix}{4}&{0}\\{0}&{1}\end{pmatrix} \) es diagonal, por que los elementos que no pertenecen a su diagonal principal son cero

Saludos

[Miguelfonse]

perdón yo fui quien se equivoco, lo que debí decir es que ahí me decían que toda matriz es simétrica si se cumple que A^t=A, y a partir de eso demostrar que toda matriz diagonal es simétrica

[delmar]

Simplemente por definición de matriz diagonal \( si \ \ i\neq j, \ a_{ij}=0 \Rightarrow{a_{ji}=0 }\Rightarrow{a_{ij}=a_{ji}} \) en el caso de \( i=j\Rightarrow{a_{ij}=a_{ji}} \)

Por lo tanto \( \forall{i,j} \ a_{ij}=a_{ji} \) entonces la matriz diagonal es simétrica


Saludos