[Dark]

Sea $$\left\{{x_i}\right\}_{i\in I}$$ una familia de vectores ortonormales, entonces $$\displaystyle\sum_{i\in I}{}\left |{\left<{x,x_i}\right>}\right |^2\leq{\left\|{x}\right\|^2}$$ para todo $$x\in X$$.


Por qué $$\left<{x,x_i}\right>\neq 0$$ para muchos índices contables?

tengo que cada vez que $$x_i\neq x$$ entonces $$\left<{x,x_i}\right>= 0$$ solo es diferente de cero cuando $$x_i=x$$ pero que me garantiza que sea una cantidad contable?

[geómetracat]

No entiendo muy bien cuál es la pregunta. ¿Puedes aclaralo, o poner un poco de contexto? No sé qué quieres decir con esto:

Por qué $$\left<{x,x_i}\right>\neq 0$$ para muchos índices contables?

Por otro lado, la última frase es falsa. \[ \langle x, x_i \rangle \] puede ser distinto de cero para muchos \[ i \]. Fíjate que aquí \[ x \in X \] es un elemento arbitrario de tu espacio, no necesariamente uno de los vectores del conjunto ortonormal.

[Masacroso]

Sea $$\left\{{x_i}\right\}_{i\in I}$$ una familia de vectores ortonormales, entonces $$\displaystyle\sum_{i\in I}{}\left |{\left<{x,x_i}\right>}\right |^2\leq{\left\|{x}\right\|^2}$$ para todo $$x\in X$$.


Por qué $$\left<{x,x_i}\right>\neq 0$$ para muchos índices contables?

tengo que cada vez que $$x_i\neq x$$ entonces $$\left<{x,x_i}\right>= 0$$ solo es diferente de cero cuando $$x_i=x$$ pero que me garantiza que sea una cantidad contable?

No es cierto en general que \( \langle x,x_i \rangle =0 \) cuando \( x\neq x_i \). ¿Quizá tu pregunta es por qué \( \langle  x,x_i\rangle =0 \) excepto en, a lo sumo, un subconjunto contable de los \( x_i \)? Eso es debido a la definición de \( \sum_{i\in I}a_i \) para \( a_i\geqslant 0 \) que se define como

\( \displaystyle{
\displaystyle{ \sum_{j\in I}a_j:=\sup_{J\subset I: \operatorname{card}(J)<\aleph _0}\sum_{j\in J}a_j }
} \)

Mira aquí, a partir de la página 5:

https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/m201b_old/sums.pdf

[Dark]

Sea $$\left\{{x_i}\right\}_{i\in I}$$ una familia de vectores ortonormales, entonces $$\displaystyle\sum_{i\in I}{}\left |{\left<{x,x_i}\right>}\right |^2\leq{\left\|{x}\right\|^2}$$ para todo $$x\in X$$.


Por qué $$\left<{x,x_i}\right>\neq 0$$ para muchos índices contables?

tengo que cada vez que $$x_i\neq x$$ entonces $$\left<{x,x_i}\right>= 0$$ solo es diferente de cero cuando $$x_i=x$$ pero que me garantiza que sea una cantidad contable?

No es cierto en general que \( \langle x,x_i \rangle =0 \) cuando \( x\neq x_i \). ¿Quizá tu pregunta es por qué \( \langle  x,x_i\rangle =0 \) excepto en, a lo sumo, un subconjunto contable de los \( x_i \)? Eso es debido a la definición de \( \sum_{i\in I}a_i \) para \( a_i\geqslant 0 \) que se define como

\( \displaystyle{
\displaystyle{ \sum_{j\in I}a_j:=\sup_{J\subset I: \operatorname{card}(J)<\aleph _0}\sum_{j\in J}a_j }
} \)

Mira aquí, a partir de la página 5:

https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/m201b_old/sums.pdf

Exactamente a eso me refería. Ahora basandome en el pdf sugerido en la proposición 8 de la página 8. Puedo hacer lo siguiente:

como  $$\left\|{\displaystyle\sum_{i\in I}{}{\left<{x,x_i}\right>}x_i}\right\|^2=\displaystyle\sum_{i\in I}{}\left |{\left<{x,x_i}\right>}\right |^2$$$$\leq{\left\|{x}\right\|^2}$$ para todo $$x\in X$$, eso me implicaría que es una sucesión de  cauchy?

Entonces tendría que siendo $$\mathcal F$$ un conjunto de orden parcial, para $$n\in \mathbb{N}$$ existe un $$I_n\in \mathcal F$$ tal que si $$J\in \mathcal F$$ y $$I_n\cap J=\emptyset$$ entonces $$\left\|{\displaystyle\sum_{i\in I}{}{\left<{x,x_i}\right>}x_i}\right\|\leq{\left\|{\frac{x}{n}}\right\|}$$

Como $$I_n$$ es finito entonces $$B=\bigcup_{n\in \mathbb N}I_n$$ es contable. Si $$i\in A\setminus B$$ entonces $$I_n\cap \left\{{i}\right\}=\emptyset$$. Luego $$\left\|{\left<{x,x_i}\right>x_i}\right\|\leq{}{\left\|{\frac{x}{n}}\right\|}$$ para todo $$n\in \mathbb N$$ tendiendo en cuenta que $$x$$ es fijo.

Entonces $$\left\|{\left<{x,x_i}\right>x_i}\right\|=0$$ pero $$x_i\neq 0$$ luego $$\left\|{\left<{x,x_i}\right>}\right\|=0\Longleftrightarrow{}\left<{x,x_i}\right>=0$$

La igualdad en rojo, no la he probado para no dejar ningún cabo suelto, dónde podría encontrar información sobre su demostración? y no sé si lo que he hecho esta bien.

[Masacroso]

Exactamente a eso me refería. Ahora basándome en el pdf sugerido en la proposición 8 de la página 8. Puedo hacer lo siguiente:

como  $$\left\|{\displaystyle\sum_{i\in I}{}{\left<{x,x_i}\right>}x_i}\right\|^2=\displaystyle\sum_{i\in I}{}\left |{\left<{x,x_i}\right>}\right |^2$$$$\leq{\left\|{x}\right\|^2}$$ para todo $$x\in X$$, eso me implicaría que es una sucesión de  cauchy?

La igualdad en rojo es cierta para espacios de Hilbert, una demostración la tienes en el libro de Sheldon Axler que puedes descargar de aquí:

https://measure.axler.net/

Es el teorema 8.54 en la página 240. Pero en cualquier caso no habría aquí sucesiones si \( I \) es incontable (que es en verdad la generalización que trata el concepto de suma no ordenada), en cualquier caso tendrías una red de Cauchy, ya que en definitiva una suma no ordenada es una red.

Entonces tendría que siendo $$\mathcal F$$ un conjunto de orden parcial, para $$n\in \mathbb{N}$$ existe un $$I_n\in \mathcal F$$ tal que si $$J\in \mathcal F$$ y $$I_n\cap J=\emptyset$$ entonces $$\left\|{\displaystyle\sum_{i\in I}{}{\left<{x,x_i}\right>}x_i}\right\|\leq{\left\|{\frac{x}{n}}\right\|}$$

Creo que ahí querías escribir que

\( \displaystyle{
\left\| \sum_{i \in J\setminus I_n} \langle x,x_i \rangle x_i\right\|\leqslant \frac1{n}\|x\|
} \)

lo cual sería correcto para una suma no ordenada convergente.

Como $$I_n$$ es finito entonces $$B=\bigcup_{n\in \mathbb N}I_n$$ es contable. Si $$i\in A\setminus B$$ entonces $$I_n\cap \left\{{i}\right\}=\emptyset$$. Luego $$\left\|{\left<{x,x_i}\right>x_i}\right\|\leq{}{\left\|{\frac{x}{n}}\right\|}$$ para todo $$n\in \mathbb N$$ tendiendo en cuenta que $$x$$ es fijo.

Entonces $$\left\|{\left<{x,x_i}\right>x_i}\right\|=0$$ pero $$x_i\neq 0$$ luego $$\left\|{\left<{x,x_i}\right>}\right\|=0\Longleftrightarrow{}\left<{x,x_i}\right>=0$$

Exactamente, es decir, has demostrado que \( \langle x,x_i \rangle =0 \) para todo \( I\setminus B \). O lo que es lo mismo: para que una suma no ordenada sea convergente entonces los sumandos deben ser todos cero excepto en, a lo sumo, un conjunto de índices contable.

[geómetracat]

Hay un camino un poco más directo para probar que \[ \langle x,x_i \rangle=0 \] para todo \[ i\in I \] salvo a lo sumo un conjunto numerable.

La cuestión está en que si \[ \sum_{i\in I} a_i \] es convergente (con la definición que dio antes Masacroso como el supremo sobre las sumas finitas), donde los \[ a_i \] son reales no negativos, entonces todos los \[ a_i \] son cero salvo un conjunto numerable. Para ver esto, fíjate que definiendo \[ I_n=\{i \in I \mid a_i>1/n\} \] para \[ n\geq 1 \] y \[ I_0=\{i\in I \mid a_i=0\} \], tenemos que \[ I=\bigcup_{n=0}^\infty I_n \]. Si algún \[ I_n \] fuera infinito, tendríamos que \[ \sum_{i\in I_n} a_i \geq \sum_{i\in I_n} 1/n = \infty \], contradiciendo el hecho de que la suma era convergente. Luego todos los \[ I_n \] son finitos, y su unión, que coincide con \[ I\setminus I_0 \] es numerable. Pero \[ I\setminus I_0 \] es precisamente el conjunto de índices \[ i\in I \] para los que \[ a_i>0 \].

Ahora, aplica esto a tu caso con \[ a_i=|\langle x,x_i\rangle|^2 \]. La desigualdad de Bessel te da que la suma es convergente, así que puedes aplicar lo anterior.

En realidad, esta prueba que he puesto para series de reales es esencialmente la misma que estáis discutiendo (que sirve para el caso general de redes en espacios de Hilbert), pero así te ahorras la igualdad en rojo y creo que es más simple.