Es algo a demostrar. Es sencillo, pero hay un detalle que molesta un poco. Hay que ir con un cierto cuidado si hablas de conjuntos ortogonales al definir conjunto ortogonal maximal, porque el vector \[ 0 \] molesta. Por ejemplo, en \[ \Bbb R^2 \] con el producto escalar usual, \[ \{(1,0),(0,1)\} \] es un conjunto ortogonal completo según tu definición, pero si aceptas conjuntos que contengan al \[ 0 \] no es un conjunto ortogonal maximal, pues está propiamente contenido en \[ \{(1,0),(0,1),(0,0)\} \]. Esto normalmente no es problema pues uno suele estar interesado en conjuntos ortogonales que no contienen al \[ 0 \], y de hecho la mayoría de veces en conjuntos ortonormales (donde el \[ 0 \] ya está descartado).
Si consideramos únicamente conjuntos ortogonales que no contengan al vector \( 0 \) (que es lo más razonable aquí), entonces todo funciona bien. Si \[ S \] es ortogonal maximal, entonces es completo, pues si tuvieras un \[ x \neq 0 \] con \[ x \perp s \] para todo \[ s \in S \] entonces \[ S \cup \{x\} \] sería un conjunto ortogonal estrictamente mayor que \[ S \], contradiciendo el hecho de que \[ S \] era maximal.
Y recíprocamente, si \[ S \] es un conjunto ortogonal completo entonces es maximal. En efecto, si tuvieras \[ S \subsetneq S' \] con \[ S' \] ortogonal, hay un \[ x \in S' \setminus S \] no nulo que es ortogonal con todos los vectores de \[ S \], contradiciendo que \[ S \] era completo.
