[Dark]

Sea $$X$$ un espacio de Banach. $$Y$$ un espacio normado, y $$A$$ un subconjunto del espacio de operadores lineales acotados de $$X$$ en $$Y$$ que es puntualmente acotado. Demuestre que el conjunto $$E_n=\left\{{x\in X:\left\|{T(x)}\right\|\leq n\  \forall T\in A}\right\} $$ es cerrado.


No sé si no entendí bien el contexto del ejercicio, pero lo interpreté de la siguiente manera: Como $$E_n$$ es el conjunto de bolas cerradas de radio menor o igual a $$n$$, entonces tomé un $$x_0\in X$$ y probé que la bola cerrada $$\overline{B}(x_0,n)$$ es un conjunto cerrado, es decir que su complemento es abierto.

[Masacroso]

Sea $$X$$ un espacio de Banach. $$Y$$ un espacio normado, y $$A$$ un subconjunto del espacio de operadores lineales acotados de $$X$$ en $$Y$$ que es puntualmente acotado. Demuestre que el conjunto $$E_n=\left\{{x\in X:\left\|{T(x)}\right\|\leq n\  \forall T\in A}\right\} $$ es cerrado.


No sé si no entendí bien el contexto del ejercicio, pero lo interpreté de la siguiente manera: Como $$E_n$$ es el conjunto de bolas cerradas de radio menor o igual a $$n$$, entonces tomé un $$x_0\in X$$ y probé que la bola cerrada $$\overline{B}(x_0,n)$$ es un conjunto cerrado, es decir que su complemento es abierto.

No es un conjunto de bolas cerradas de la topología en \( X \), al menos yo no veo cómo. Yo haría lo siguiente: si \( \lim_{n\to \infty }x_n=x \) entonces la sucesión \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) está acotada, en particular si \( x_n\in E_k \) para todo \( n \) (es decir, si \( \sup_{T\in A}\|Tx_n\|\leqslant k \)) entonces necesariamente \( \|Tx\|\leqslant k \) para todo \( T\in A \), por tanto \( x\in E_k \). ∎

Añado: ok, entiendo que querías decir que

\( \displaystyle{
E_k=\bigcap_{T\in A}E_{T,k}, \quad E_{T,k}:=\{x\in X: \|Tx\|\leqslant k\}
} \)

Efectivamente cada \( E_{T,k} \) es cerrado, ya que \( T \) es continua, entonces \( E_k \) es cerrado al ser intersección de conjuntos cerrados.

Por otra parte no veo en qué influye que \( A \) sea "puntualmente acotado" (que no sé muy bien lo que significa), lo anterior funciona para cualquier conjunto de operadores lineales acotados.

[Dark]

En particular si \( x_n\in E_k \) para todo \( n \) (es decir, si \( \sup_{T\in A}\|Tx_n\|\leqslant k \)) entonces necesariamente \( \|Tx\|\leqslant k \) para todo \( T\in A \)

Cuando dices necesariamente es por la continuidad de $$T$$ ? y la continuidad de $$T$$ se da porque es acotada, cierto?

Efectivamente cada \( E_{T,k} \) es cerrado, ya que \( T \) es continua.

Por otra parte no veo en qué influye que \( A \) sea "puntualmente acotado" (que no sé muy bien lo que significa), lo anterior funciona para cualquier conjunto de operadores lineales acotados.

La continuidad me dice que la imagen inversa de un cerrado es cerrado, sobre qué conjunto estaríamos aplicando esa imagen inversa?.

Lo de puntualmente acotado es para otra parte del ejercicio, que ya tengo resuelta.

[Masacroso]

En particular si \( x_n\in E_k \) para todo \( n \) (es decir, si \( \sup_{T\in A}\|Tx_n\|\leqslant k \)) entonces necesariamente \( \|Tx\|\leqslant k \) para todo \( T\in A \)

Cuando dices necesariamente es por la continuidad de $$T$$ ? y la continuidad de $$T$$ se da porque es acotada, cierto?

Eso es. Un funcional lineal es acotado si y solo si es continuo. Son conceptos sinónimos.

Efectivamente cada \( E_{T,k} \) es cerrado, ya que \( T \) es continua.

Por otra parte no veo en qué influye que \( A \) sea "puntualmente acotado" (que no sé muy bien lo que significa), lo anterior funciona para cualquier conjunto de operadores lineales acotados.

La continuidad me dice que la imagen inversa de un cerrado es cerrado, sobre qué conjunto estaríamos aplicando esa imagen inversa?

Tienes que

\( \displaystyle{
\{x\in X: \|Tx\|\leqslant k\}= \{x\in X: (n\circ T)(x)\leqslant k\}= (n\circ T)^{-1}((-\infty ,k])
} \)

donde \( n: Y\to [0,\infty ),\, y\mapsto \|y\| \). Al ser toda norma continua en la propia topología que define entonces la función \( n\circ T \) es continua.