[Dark]

Me definen la siguiente función: $$d(\cdot, B):X\longrightarrow{\mathbb{R}}$$ dada por $$d(x,A)=\inf \left\{{d(x,y):y\in A}\right\}$$ la cual he mostrado que es uniformemente continua. Ahora, me definen la siguiente función: $$f:X\longrightarrow{\mathbb{R}}$$ dada por $$f(x)=d(x,A)-d(x,B)$$ la cual debo probar que es continua.

También he mostrado que $$f$$ es uniformemente continua y con eso bastaría para decir que es continua.

Ahora, me queda la duda de como mostrar que $$A\subseteq{}f^{-1}((-\infty,0))$$.

[Luis Fuentes]

Hola

Me definen la siguiente función: $$d(\cdot, B):X\longrightarrow{\mathbb{R}}$$ dada por $$d(x,A)=\inf \left\{{d(x,y):y\in A}\right\}$$ la cual he mostrado que es uniformemente continua. Ahora, me definen la siguiente función: $$f:X\longrightarrow{\mathbb{R}}$$ dada por $$f(x)=d(x,A)-d(x,B)$$ la cual debo probar que es continua.

También he mostrado que $$f$$ es uniformemente continua y con eso bastaría para decir que es continua.

Ahora, me queda la duda de como mostrar que $$A\subseteq{}f^{-1}((-\infty,0))$$.

Eso último no es cierto sin hipótesis adicionales sobre \( A \) y \( B \). Si \( x\in A \) y \( x\in clausura(B) \) entonces f(a)=d(a,A)-d(a,B)=0-0=0, y no es cierto que \( f(a)\in (-\infty,0) \), es decir, no es cierto que \( a\in f^{-1}((-\infty,0)) \).

Si exiges que \( A\cap clausura(B)=\emptyset \) entonces si es cierto. Sólo tienes que comprobar que:

- si \( x\in A \), \( d(x,A)=0 \).
- si \( x\not\in clausura(B) \), entonces \( d(x,B)>0 \).

Saludos.