Hola como están?
Tengo este problema que no he podido resolver
Sean X, Y y Z variables aleatorias. Suponga que X y Z son independientes y que X = Y c.s . Pruebe que Y y Z son independientes.
Si no he sabido como utilizar la condición de que X = Y c.s
Muchas gracias
Si \( X=Y \) casi seguro, entonces significa que existe un conjunto \( A\subset \Omega \) tal que \( X|_A=Y|_A \) y \( P(A)=1 \) (o lo que es lo mismo, que \( P(A^\complement )=0 \)). Eso significa que \( A\cap \{X\in B\}=A\cap \{Y\in B\} \) para cualquier conjunto boreliano \( B\subset \mathbb{R} \). Ahora bien, observemos que
\( \displaystyle{
\begin{align*}
P(X\in B, Z\in C)&=P(X\in B)P(Z\in C)\\
&=(P(A\cap \{X\in B\})+P(A^\complement \cap \{X\in B\}))P(Z\in C)\\
&=P(A\cap \{X\in B\})P(Z\in C)\\
&=P(A\cap \{Y\in B\})P(Z\in C)\\
&=(P(A\cap \{Y\in B\})+P(A^\complement \cap \{Y\in B\}))P(Z\in C)\\
&=P(Y\in B)P(Z\in C)\tag1
\end{align*}
} \)
para cualesquiera borelianos \( B,C\subset \mathbb{R} \), ya que \( P(A^\complement \cap G)=P(A^\complement )=0 \) para cualquier evento \( G\subset \Omega \). Finalmente observa que
\( \displaystyle{
\begin{align*}
\{X\in B\}\cap \{Z\in C\}&=\overbrace{(A\cup A^\complement )}^{=\Omega }\cap \{X\in B\}\cap \{Z\in C\}\\
&=(A\cap \{X\in B\}\cap \{Z\in C\})\cup (A^\complement \cap \{X\in B\}\cap \{Z\in C\})\\
&=(A\cap \{Y\in B\}\cap \{Z\in C\})\cup (A^\complement \cap \{X\in B\}\cap \{Z\in C\})\tag2
\end{align*}
} \)
Por tanto
\( \displaystyle{
\begin{align*}
P(X\in B, Z\in C)&=P(\{X\in B\}\cap \{Z\in C\})\\
&=P((A\cap \{Y\in B\}\cap \{Z\in C\})\cup (A^\complement \cap \{X\in B\}\cap \{Z\in C\}))\\
&=P(A\cap \{Y\in B\}\cap \{Z\in C\})+\overbrace{P(A^\complement \cap \{X\in B\}\cap \{Z\in C\})}^{=0}\\
&=P(A\cap \{Y\in B\}\cap \{Z\in C\})+\overbrace{P(A^\complement \cap \{Y\in B\}\cap \{Z\in C\})}^{=0}\\
&=P((A\cap \{Y\in B\}\cap \{Z\in C\})\cup (A^\complement \cap \{Y\in B\}\cap \{Z\in C\}))\\
&=P(Y\in B, Z\in C)\tag3
\end{align*}
} \)
∎
