[Ariel Fernández]

Hola a todos. Nuevamente un problema de topología (voy poniendo cada uno como nuevo tema, creo esto es lo correcto, si no es así me avisan por favor).

"Sea C un subconjunto de los reales formado por unión de intervalos de tal forma que: \( C=[0,1]U(2,3) \). Sea \( T=\{C\}U\{Ai/1\notin Ai\} \).

a) ¿ Es \( (C,T \)) un espacio topológico?
b)¿Es \( (C,T) \) conexo?
c)¿Es\(  (C,T) \) compacto?

Mis respuestas:

a) Sí es un espacio topológico. Por definición C esta en la topología y el \( \emptyset \) también, ya que \( 1\notin \emptyset \). Así cumple la primer propiedad. ¿Cómo demostraría las otras dos?

b)No es conexo porque puedo encontrar una separación del conjunto uniendo dos abiertos disjuntos que me dan todo C. Eso abiertos serían los propios intervalos \( [0,1] \) y \( (2,3) \) ya que cada uno es abierto en la topología inducida por la usual de\(  R \) en \( C \) (ambos intervalos pueden escribirse como una intersección de un abierto de \( R  \) con C).

c) Sí es compacto porque puedo tomar siempre subcubrimiento finito de C los propios intervalos \( [1,0] \) y \( (2,3) \) (esto último no sé si estará del todo bien, porque la definición de compacto en espacios topológicos más bien dice que TODO recubrimientos de abiertos debe admitir un subrecubrimiento finito). ¿Podrían ayudarme?

Saludos

[geómetracat]

Antes de nada, unos comentarios sobre LaTeX: para escribir el símbolo de unión, no uses U, usa \cup. Y en vez de Ai pon A_i, así te sale la i como subíndice. Con esto, la topología quedaría \[ T=\{C\}\cup\{A_i \mid 1\notin A_i\} \], que se ve mucho más bonito.

Sobre el problema, para la primera parte te falta ver que la unión arbitraria de conjuntos de \[ T \] está en \[ T \], y que la intersección de dos conjuntos de \[ T \] está en \[ T \]. Para lo primero, si tienes una colección de conjuntos de \[ T \], o bien \[ C \] está en esa colección y entonces la unión es \[ C \] (que está en \[ T \]) o bien ninguno de los conjuntos es \[ C \]. En este último caso, ninguno de los conjuntos contiene al \[ 1 \], luego su unión tampoco y por tanto la unión está en \[ T \].

Para la intersección, es un argumento parecido: si \[ A_1,A_2 \in T \] o bien ambos son \[ C \] y por tanto su intersección también, o alguno de los dos no contiene a \[ 1 \] y por tanto su intersección tampoco. En cualquier caso, la intersección está en \[ T \].

Para las partes b) y c), te dicen explícitamente que debes usar la topología \[ T \], no la usual. Por eso el apartado b) está mal (o mejor dicho, contestas a algo que no es lo que te preguntan). Para b), si \[ C \] no fuera conexo, lo podrías expresar como unión disjunta de dos abiertos no vacíos de \[ T \]. Uno de estos abiertos debe contener al \[ 1 \]. Pero el único abierto de \[ T \] que contiene al \[ 1 \] es \[ C \]... Concluye.

El apartado c) de nuevo está mal, por dos motivos. Primero, que al igual que antes estás usando la topología usual en vez de \[ T \]. Y segundo, de lo que tú misma te das cuenta, que para probar que un espacio es compacto hay que ver que todo recubrimiento por abiertos tiene un subrecubrimiento finito, no basta con ver que existe algún recubrimiento por abiertos finito (esto de hecho siempre existe, sea el espacio compacto o no).
Para hacerlo bien, supongamos que tenemos una colección de conjuntos \[ U_i \in T \] tal que \[ C=\bigcup_i U_i \], es decir, que \[ \{U_i\mid i \in I\} \] es un recubrimiento por abiertos de \[ C \]. Como la unión es todo \[ C \], necesariamente tenemos \[ 1\in U_j \] para algún \[ j\in I \]. Pero el único elemento de \[ T \] que contiene al \[ 1 \] es \[ C \], luego \[ U_j=C \]. Concluye.

[Ariel Fernández]

Hola amigo. Primero gracias por responder

antes de nada, unos comentarios sobre LaTeX: para escribir el símbolo de unión, no uses U, usa \cup. Y en vez de Ai pon A_i, así te sale la i como subíndice. Con esto, la topología quedaría T={C}∪{Ai∣1∉Ai}, que se ve mucho más bonito.

Entendido, pasa que recién aprendiendo a usarlo y algunas funciones aún desconozco. Gracias por la información.

Sobre el problema, para la primera parte te falta ver que la unión arbitraria de conjuntos de T está en T, y que la intersección de dos conjuntos de T está en T. Para lo primero, si tienes una colección de conjuntos de T, o bien C está en esa colección y entonces la unión es C (que está en T) o bien ninguno de los conjuntos es C. En este último caso, ninguno de los conjuntos contiene al 1, luego su unión tampoco y por tanto la unión está en T.

 Buenísimo. Me quedó claro eso.

Para las partes b) y c), te dicen explícitamente que debes usar la topología T, no la usual.

Sí, yo tenía entiendo, por la bibliografía que nos habían facilitado, que cuando tenemos un subconjunto de un espacio topológico y queremos saber si es conexo, debemos ver si es conexo con la topología inducida en ese conjunto. De ahí que, por ejemplo, si teníamos como subconjunto dos bolas abiertas tangentes exteriores lo clasificábamos como un conjunto no conexo, ya que podríamos tomar la recta que pasa por el punto de tangencia y la figura quedaba separada en dos por dos semiplanos. Cada uno de esos semiplanos en intersección con cada bola abierta constituían dos abiertos no vacíos disjuntos en la topología inducida por la usual de \( R^{2} \) cuya unión me daba todo el subconjunto. Guiándome por eso es que en este ejercicio intenté hacer algo similar. Pero veo que no está bien ya que, a diferencia del otro ejemplo, este tiene una topología en específica. ¿Si no la tuviera sí que podría razonar como lo dije antes no? O sea usando la topología inducida por la usual de \( R \).

no basta con ver que existe algún recubrimiento por abiertos finito (esto de hecho siempre existe, sea el espacio compacto o no)

Perdón, esta aclaración no la entendí. Tenía entendido que justamente por no tener algunos conjuntos subrecubrimientos finitos de abiertos eran considerados no compactos. Por ejemplo, en nuestra bibliografía tenemos que "la recta real no es compacta, pues el recubrimiento de \( R \) por intervalos abiertos dado por \(  U=\{(n,n+2)/\ n\in{Z}\} \) no contiene ningún subcubrimiento finito que cubra a \( R \) (un subrecubrimiento podría tomarse como un nuevo recubrimiento, pero este caso no existe cubrimiento finito de abierto). ¿Podrías aclarar esto? 

Para hacerlo bien, supongamos que tenemos una colección de conjuntos Ui∈T tal que C=⋃iUi, es decir, que {Ui∣i∈I} es un recubrimiento por abiertos de C

Pregunto: no es necesario dar explícitamente ese recubrimiento por abiertos?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Sí, yo tenía entiendo, por la bibliografía que nos habían facilitado, que cuando tenemos un subconjunto de un espacio topológico y queremos saber si es conexo, debemos ver si es conexo con la topología inducida en ese conjunto. De ahí que, por ejemplo, si teníamos como subconjunto dos bolas abiertas tangentes exteriores lo clasificábamos como un conjunto no conexo, ya que podríamos tomar la recta que pasa por el punto de tangencia y la figura quedaba separada en dos por dos semiplanos. Cada uno de esos semiplanos en intersección con cada bola abierta constituían dos abiertos no vacíos disjuntos en la topología inducida por la usual de \( R^{2} \) cuya unión me daba todo el subconjunto. Guiándome por eso es que en este ejercicio intenté hacer algo similar. Pero veo que no está bien ya que, a diferencia del otro ejemplo, este tiene una topología en específica. ¿Si no la tuviera sí que podría razonar como lo dije antes no? O sea usando la topología inducida por la usual de \( R \).

Pero es que todo lo que dices es correcto; salvo quizá la frase en roja. Siempre que trabajas en un espacio topológico tienes fijada una topología, que normalmente será un dato del problema. Y sobre sus subconjuntos trabajamos con la topología inducida.

Lo que pasa es que estás acostumbrado a que casi siempre se trabaje con la topología usual (que también es una topología específica). La única diferencia en este ejercicio es que trabajas con otra topología diferente de la usual.

Perdón, esta aclaración no la entendí. Tenía entendido que justamente por no tener algunos conjuntos subrecubrimientos finitos de abiertos eran considerados no compactos. Por ejemplo, en nuestra bibliografía tenemos que "la recta real no es compacta, pues el recubrimiento de \( R \) por intervalos abiertos dado por \(  U=\{(n,n+2)/\ n\in{Z}\} \) no contiene ningún subcubrimiento finito que cubra a \( R \) (un subrecubrimiento podría tomarse como un nuevo recubrimiento, pero este caso no existe cubrimiento finito de abierto). ¿Podrías aclarar esto? 

Un conjunto es compacto si TODO recubrimiento por abiertos tiene un subrecubrimiento finito.

Por tanto para que esto no se cumpla, para que NO sea compacto, basta encontrar un ejemplo concreto de un recubrimiento del cuál no se pueda extraer un subrecubrimiento finito.

Por el contrario para ver que SI es compacto, no puedes trabajar con un recubrimiento concreto. Tienes que probar que sea cuál sea el que tomas, puedes extraerse un subrecubrimiento finito.

Para hacerlo bien, supongamos que tenemos una colección de conjuntos Ui∈T tal que C=⋃iUi, es decir, que {Ui∣i∈I} es un recubrimiento por abiertos de C

Pregunto: no es necesario dar explícitamente ese recubrimiento por abiertos?

Esto es justo lo que comentaba antes; la definición de compacidad exige probar que puedes extraer un subrecubrimiento de un recubrimiento cualquiera no de uno concreto.

Saludos.