[Ariel Fernández]

Buenos días a todos. Tengo este problema que me gustaría compartirlo con ustedes para escuchar sus opiniones. 
"Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones. Demostrar las que son verdaderas y dar un contraejemplo sencillo para aquellas que son falsas.

 a) Si  \( f:D\rightarrow{S^1} \)es continua y sobreyectiva entonces D es compacto.

 b) Si A es un conjunto incluido en R con más de un punto y tal que su interior es vacío, entonces A es no conexo.

 c) Todo conjunto incluido en los reales con la topología cofinita es compacto.

 d) Si Y no es conexo y \( f:D\rightarrow{Y} \) es una función continua y sobreyectiva, entonces D no es conexo. "

Con respecto al punto a puedo decir que si f es sobreyectiva entonces \( f(D)=S^1 \) ya que si es una función  sobreyectiva entonces su conjunto imagen debe coincidir con su codominio. Y si es continua, la preimagen de todo abierto de \( S^1  \)(que no me queda claro cómo serían esos abiertos en ese espacio) debe ser un abierto de \( D \).

Con respecto al punto b tengo duda sobre cuál sería nuestro espacio topológico (supuestamente si no nos dicen eso se tiene que sobreentender la topología usual de R) Suponiendo la topología usual de R (y no la métrica usual porque no me dice tampoco que el espacio sea métrico).

Lo demás no me queda muy en claro cómo demostrarlo.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Como observación general te diría que para enfocar razonadamente las respuesta a las preguntas que haces hay que saber que resultados previos conoces sobre los conceptos sobre los cuales se pregunta.

Buenos días a todos. Tengo este problema que me gustaría compartirlo con ustedes para escuchar sus opiniones. 
"Analizar la veracidad de las siguientes afirmaciones. Demostrar las que son verdaderas y dar un contraejemplo sencillo para aquellas que son falsas.

 a) Si  \( f:D\rightarrow{S^1} \)es continua y sobreyectiva entonces D es compacto.

Con respecto al punto a puedo decir que si f es sobreyectiva entonces \( f(D)=S^1 \) ya que si es una función  sobreyectiva entonces su conjunto imagen debe coincidir con su codominio.

 Eso es cierto, pero. ¿Sirve para concluir algo respecto a lo que te preguntan?.

Y si es continua, la preimagen de todo abierto de \( S^1  \)(que no me queda claro cómo serían esos abiertos en ese espacio) debe ser un abierto de \( D \).

 Los abiertos de \( S^1 \) son intersecciones de bolas abiertas de \( \Bbb R^2 \) con la circunferencia. Es decir uniones de trocitos de circunferencias sin los extremos.

 Piensa en esta función \( f(t)=(cos(t),sin(t)). \)

 ¿Qué concluyes?.

b) Si A es un conjunto incluido en R con más de un punto y tal que su interior es vacío, entonces A es no conexo.

Con respecto al punto b tengo duda sobre cuál sería nuestro espacio topológico (supuestamente si no nos dicen eso se tiene que sobreentender la topología usual de R) Suponiendo la topología usual de R (y no la métrica usual porque no me dice tampoco que el espacio sea métrico).

Si, se supone la topología usual. ¿Cuáles son los conexos de \( \Bbb R \) con la topología usual?.

c) Todo conjunto incluido en los reales con la topología cofinita es compacto.

 Ten en cuenta que los abiertos de la topología cofinita son aquellos cuyo complementario es finito. Por tanto un sólo abierto no vacío sólo deja fuera un número finito de puntos. Por tanto dado un abierto de cualquier posible recubirimiento de cualquier conjunto éste sólo dejará sin cubrir a lo sumo un número finito de puntos.

 ¿Qué concluyes?.

d) Si Y no es conexo y \( f:D\rightarrow{Y} \) es una función continua y sobreyectiva, entonces D no es conexo. "

 ¿Conoces este resultado? Si \( f:X\to Y \) es continua y \( X \) es conexo, entonces \( f(X) \) es conexo.

 O "de palabra": La imagen continua de un conexo es conexa.

Saludos.

[Ariel Fernández]

Hola Luis

Como observación general te diría que para enfocar razonadamente las respuesta a las preguntas que haces hay que saber que resultados previos conoces sobre los conceptos sobre los cuales se pregunta

Sí, por suerte tengo entendido los conceptos involucrados en cada punto(compacidad,conexidad,continuidad, sobreyectividad, topología cofinita, \( S^1 \),etc). Mi problemas siempre es cómo utilizar esos conceptos para armar una demostración válida.

Eso es cierto, pero. ¿Sirve para concluir algo respecto a lo que te preguntan?.

No no, sólo lo comentaba nomás como un dato que de momento puedo deducir del enunciado para ver si vamos extrayendo información correcta

Los abiertos de S1 son intersecciones de bolas abiertas de R2 con la circunferencia. Es decir uniones de trocitos de circunferencias sin los extremos.

 Piensa en esta función f(t)=(cos(t),sin(t)).

 ¿Qué concluyes?.

Bueno diría que esa función \( f: D\longrightarrow{S^1}f(t)=(cos(t),sin(t)) \) es continua (ya que el coseno y el seno lo son) y también sobreyectiva (cumpliendo la condición). De hecho veo que la representación gráfica de esa función coincide con la de la circunferencia unitaria \( S^1 \). Pero aún no capto cómo podría seguir a partir de esto. Sé que para ser compacto (en espacios topológicos en general) se necesita que todo recubrimiento abierto admita un subrecubrimiento finito. ¿Cómo uno ambas cosas?

Si, se supone la topología usual. ¿Cuáles son los conexos de R con la topología usual?.

Cualquier intervalo entiendo (abierto, cerrado y semis) es conexo en R con la topología usual, ya que no puedo escribirlo como una unión de dos conjuntos abiertos disjuntos.

Ten en cuenta que los abiertos de la topología cofinita son aquellos cuyo complementario es finito. Por tanto un sólo abierto no vacío sólo deja fuera un número finito de puntos. Por tanto dado un abierto de cualquier posible recubirimiento de cualquier conjunto éste sólo dejará sin cubrir a lo sumo un número finito de puntos. 

Sí, sé que en R con la topología cofinita los abiertos son del tipo \( (-\infty,a) U (a,\infty \). Si me dices que cualquiera sea el recubrimiento siempre se deja fuera una cantidad finita de elementos , ¿en posible entonces cubrir cualquier subconjunto de R? Al igual que el anterior, aún no logro unir los conceptos

¿Conoces este resultado? Si f:X→Y es continua y X es conexo, entonces f(X) es conexo.

 O "de palabra": La imagen continua de un conexo es conexa. 

Sí, creo recordarlo. Esta proposición es verdadera entonces. Podríamos decir es el contrarecíproco ??
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Sí, por suerte tengo entendido los conceptos involucrados en cada punto(compacidad,conexidad,continuidad, sobreyectividad, topología cofinita, \( S^1 \),etc). Mi problemas siempre es cómo utilizar esos conceptos para armar una demostración válida.

Por tus respuestas posteriores no tengo tan claro que tengas entendidos los conceptos. No me refiero a la definición desde el punto de vista puramente lógico; me refiero a dos cosas:

- Intuiciones de que significa conexo y compacto al menos con la topología usual.
- Saber indentificar para conjuntos razonablemente simples si son conexos y/o compactos mediante un dibujo.
- Saber algunos resultados básicos sobre conexos y compactos al menos con la topología usual. Por ejemplo.
-- Los conexos de \( \Bbb R \) con la topología usual son los intervalos (abiertos o cerrados por cada lado).
-- Los compactos de \( \Bbb R \) con la topología usual son los cerrados y acotados.

Todo eso hay que saberlo antes de ponerse con un ejercicio de estas características.

Bueno diría que esa función \( f: D\longrightarrow{S^1}f(t)=(cos(t),sin(t)) \) es continua (ya que el coseno y el seno lo son) y también sobreyectiva (cumpliendo la condición). De hecho veo que la representación gráfica de esa función coincide con la de la circunferencia unitaria \( S^1 \). Pero aún no capto cómo podría seguir a partir de esto

.

Pues deberías de tener claro que \( \Bbb R \) con la topología usual NO es compacto (es fácil de demostrar; pero es algo que deberías de saber previamente). Luego lo que te he sugerido es un contrajemplo a la afirmación.

Si, se supone la topología usual. ¿Cuáles son los conexos de R con la topología usual?.

Cualquier intervalo entiendo (abierto, cerrado y semis) es conexo en R con la topología usual, ya que no puedo escribirlo como una unión de dos conjuntos abiertos disjuntos.

De hecho son los únicos conexos de \( \Bbb R \) con la topología usual.

Ten en cuenta que los abiertos de la topología cofinita son aquellos cuyo complementario es finito. Por tanto un sólo abierto no vacío sólo deja fuera un número finito de puntos. Por tanto dado un abierto de cualquier posible recubirimiento de cualquier conjunto éste sólo dejará sin cubrir a lo sumo un número finito de puntos. 

Sí, sé que en R con la topología cofinita los abiertos son del tipo \( (-\infty,a) U (a,\infty \)

.

No. Hay más abiertos que esos. Son abiertos cualquier complementario de un conjunto finito. Por ejemplo \( \Bbb R-\{1,2,12\}. \)

Si me dices que cualquiera sea el recubrimiento siempre se deja fuera una cantidad finita de elementos , ¿en posible entonces cubrir cualquier subconjunto de R? Al igual que el anterior, aún no logro unir los conceptos

Mira por aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=46668.msg185052#msg185052

¿Conoces este resultado? Si f:X→Y es continua y X es conexo, entonces f(X) es conexo.

 O "de palabra": La imagen continua de un conexo es conexa. 

Sí, creo recordarlo. Esta proposición es verdadera entonces. Podríamos decir es el contrarecíproco ??

Si.

Saludos.

[Ariel Fernández]

Por tus respuestas posteriores no tengo tan claro que tengas entendidos los conceptos. No me refiero a la definición desde el punto de vista puramente lógico; me refiero a dos cosas:

- Intuiciones de que significa conexo y compacto al menos con la topología usual.
- Saber indentificar para conjuntos razonablemente simples si son conexos y/o compactos mediante un dibujo.
- Saber algunos resultados básicos sobre conexos y compactos al menos con la topología usual. Por ejemplo.
-- Los conexos de R con la topología usual son los intervalos (abiertos o cerrados por cada lado).
-- Los compactos de R con la topología usual son los cerrados y acotados.

Todo eso hay que saberlo antes de ponerse con un ejercicio de estas características.

Todo lo que dijiste aquí textualmente esta dentro de mi conocimiento previo. El tema es saber aplicar todo eso para una demostración. Esa justamente es mi duda. Si me mostraras la demostración  de una yo la entendería al toque porque conozco ya lo conceptual, nada más que me cuesta organizarlo  formalmente para una demostración.

Pues deberías de tener claro que R con la topología usual NO es compacto (es fácil de demostrar; pero es algo que deberías de saber previamente). Luego lo que te he sugerido es un contrajemplo a la afirmación

Sí sí, lo tengo claro eso. No puede ser R compacto porque no está acotado. Bien, o sea que la proposición es falsa. Ya que si \(  D=R  \)  tenemos un contraejemplo.
Entendido

No. Hay más abiertos que esos. Son abiertos cualquier complementario de un conjunto finito. Por ejemplo R−{1,2,12}.

Claro tienes razón.

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=46668.msg185052#msg185052

Bien, a eso me refería. Teniendo la demostración resuelta ya tengo el conocimiento para entenderla. Pero claro, la idea es también poder tratar de ir construyéndola uno mismo, tal y como aconsejan las normas del foro ( que en cada pregunta se aporte en lo posible lo que uno sabe del problema).

Muchas gracias Luis. Tengo también otras consultas sobre topología que lo voy a abrir en un nuevo tema.
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Todo lo que dijiste aquí textualmente esta dentro de mi conocimiento previo. El tema es saber aplicar todo eso para una demostración. Esa justamente es mi duda. Si me mostraras la demostración  de una yo la entendería al toque porque conozco ya lo conceptual, nada más que me cuesta organizarlo  formalmente para una demostración.

Bien; vaya por delante que todos esos comentarios y preguntar  sobre las cosas que conoces previamente, no te los hago como reproche. Trato de saber que resultados manejas para poder adaptar a ello mis respuestas.

Fíjate que en el caso del contraejemplo del apartado (a) realmente una vez que te lo sugerí, no hay más que darse cuenta que realmente es un contraejemplo de lo que te piden. Es decir no hay ninguna demostración que armar (más que, en todo caso, justificar la sobreyectividad, la continuidad y notar que \( \Bbb R \) no es compacto).

Muchas gracias Luis. Tengo también otras consultas sobre topología que lo voy a abrir en un nuevo tema.

Bien; puedes seguir preguntando sobre este o cualquier otro nuevo tema cuanto desees.

Saludos.

[Ariel Fernández]

Bien; vaya por delante que todos esos comentarios y preguntar  sobre las cosas que conoces previamente, no te los hago como reproche. Trato de saber que resultados manejas para poder adaptar a ello mis respuestas.

Entendido Luis. Disculpa por mi parte si hubo ahí algún malentendido.
 

Fíjate que en el caso del contraejemplo del apartado (a) realmente una vez que te lo sugerí, no hay más que darse cuenta que realmente es un contraejemplo de lo que te piden. Es decir no hay ninguna demostración que armar (más que, en todo caso, justificar la sobreyectividad, la continuidad y notar que R no es compacto). 

Sí, lo noto. Los puntos que sí había que hacer demostración serían el b, c y d

Bien; puedes seguir preguntando sobre este o cualquier otro nuevo tema cuanto desees.

Nuevamente gracias Luis. Sí, voy a pensar un poco en los problemas y los compartiré con ustedes.
Saludos