[franma]

Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:

Una barra homogénea de masa \( M \) y largo \( L \), puede rotar libremente alrededor de una articulación cilíndrica en el punto \( O \) fijo, en un extremo de dicha barra. Un proyectil de masa m moviéndose con velocidad inicial \( v = 10 m/s \) que forma \( 30^\circ \) con la dirección horizontal, impacta en forma completamente inelástica con la barra en su extremo inferior. Determina la velocidad angular \( \omega_f \) del sistema cuando la barra forma un ángulo \( \alpha = 17^\circ \) con la dirección vertical.

Datos: \( L=0,5 mts \), \( M=10 m \).



Realice lo siguiente:
Tomando eje k positivo saliente.
\( L_i=r\wedge p = m(r\wedge v)=m\cdot[(-L\hat j)\wedge(\cos(30)\hat i + \sin(30)\hat j)]=L\cos(30)mv \)

\( L_f=(I_B+mL^2)\omega_f=\left(\dfrac{ML^2}{3}+mL^2\right)\omega_f=\left(\dfrac{13}{3}mL^2\right)\omega_f \)

Entonces por conservación del momento angular tenemos:

\( \omega_f=\dfrac{3L\cos(30)mv}{13mL^2}=\dfrac{3\cos(30)v}{13L}=\dfrac{60\cos(30)}{13} \)

Ahora haciendo un poco de trigonometría tenemos que la altura \( h \) respecto a la posición inicial cuando está inclinado 13º es \( h=L(1-cos(\alpha)) \)

Continuamos por energia:

\( E_i=\dfrac{I\omega^2_f}{2} \)

\( E_f=11mgL(1-cos\alpha)+\dfrac{I\omega_F^2}{2} \)

Por conservación de la energia se tiene:

\( \dfrac{I\omega^2_f}{2}=11mgL(1-cos\alpha)+\dfrac{I\omega_F^2}{2} \)

\( I\omega^2_f=22mgL(1-cos\alpha)+I\omega_F^2 \)

\( I\omega_F^2=I\omega^2_f-22mgL(1-cos\alpha) \)

\( \omega_F^2=\dfrac{\left(\dfrac{13}{3}\cancel{m}L^\cancel{2}\right)\omega^2_f-22\cancel{m}gL(1-cos\alpha)}{\left(\dfrac{13}{3}\cancel{m}L^\cancel{2}\right)} \)

\( \omega_F^2=\dfrac{\left(\dfrac{13}{3}L\right)\omega^2_f-22g(1-cos\alpha)}{\left(\dfrac{13}{3}L\right)} \)

\( \omega_F^2=\dfrac{13L\omega^2_f-66g(1-cos\alpha)}{13L}=\dfrac{13L\dfrac{(60\cos(30))^2}{13^2}-66g(1-cos\alpha)}{13L}=\dfrac{L\dfrac{(60\cos(30))^2}{13}-66g(1-cos\alpha)}{13L} \)

Tomando la raíz obtengo \( \omega_F\approx{3,41rad/s} \)

El solucionario tiene como respuesta correcta \( 3,69rad/s \).

¿Estoy cometiendo algún error o el solucionario tiene alguna aproximación?

Saludos,
Franco.

[delmar]

Hola franma

Entiendo que el suceso tiene dos partes primero el choque en donde para fines prácticos el proyectil y la barra están inmóviles \( \alpha=0 \) y las fuerzas gravitatorias sobre ambos objetos tienen la misma línea de acción vertical que pasa por O y por eso se conserva la cantidad de movimiento angular del sistema respecto a O en esas condiciones \( w_f \) es la velocidad angular del sistema inmediatamente después del choque, la primera expresión  de \( w_f \) es correcta, no he hecho las cuentas. La segunda parte es el movimiento del sistema desde \( \alpha=0 \) hasta \( \alpha=17 \), entiendo que para el cálculo de \( E_i,E_F \) I es el momento de inercia del sistema (barra-proyectil) respecto a un eje que pasa por O, el otro término ha de ser la variación de la energía potencial gravitatoria del sistema, ahí esta el error lo detallo considerando que b indica barra y p proyectil :

\( \Delta E_{gb}=Mg \displaystyle\frac{L}{2}(1-cos \alpha) \)

\( \Delta E_{gp}=mgL(1-cos \alpha) \)

\( \Delta E_{gb}+\Delta E_{gp}=Mg \displaystyle\frac{L}{2}(1-cos \alpha)+mgL(1-cos \alpha)=6mgL(1-cos \alpha) \)

La energía potencial gravitatoria de la barra esta relacionada con su centro de masa, la del proyectil simplemente con su posición


Saludos

[Richard R Richard]

Continuando lo que aporta Delmar , si la energía inicial era


\( E_i=\dfrac{I\omega^2_f}{2} \)


y lo que ha variado esa energía por ascender es


\( \Delta E_{gb}+\Delta E_{gp}=6mgL(1-cos \alpha) \)


aplicando la conservación de la energía


\(  E_i=E_f=E_{cr}+\Delta E_{gb}+\Delta E_{gp} \)


\( \dfrac{I\omega^2_f}{2}=\dfrac{I\omega^2_F}{2}+6mgL(1-cos \alpha) \)

[franma]

Buenas,

Muchas gracias a ambos, no me di cuenta que la energia gravitatoria de los rígidos es sobre su centro de masa.
La verdad pensándolo con más calma, lo que puse yo no tiene mucho sentido, sería como que la barra tuviese toda la masa concentrada en el extremo.

Realizando la corrección si llego a \( \omega_F\approx{3,688rad/s} \).

Saludos,
Franco.