Buenas,
El ejercicio dice lo siguiente:
En la figura se ve un perchero de masa \( M \) y una masa \( m \) que cuelga del mismo. Si la masa esta colgada a una distancia \( d>\frac{L}{2} \) del centro y entre las patas del perchero hay una distancia \( L \), calcule cuál es la máxima masa que puede colgarse sin que el perchero vuelque.
Realice lo siguiente:
Lo que dejo dentro del spoiler esta mal, pero fue parte del razonamiento así que de todas maneras lo incluyo.
Spoiler
Tome ejes paralelos al suelo y eje k entrante positivo.
1era Cardinal:
y) \( 2N-g(M+m)=0 \)
2da Cardinal:
Para el torque no vi otra opción que hacerlo con la definición, si alguien conoce otro método me encantaría verlo.
\( x_1 \) es la distancia del CM al suelo y \( x_2 \) la distancia del CM a la altura del brazo que sostiene la masa.
k) \( (-x_1\hat{j}-\frac{L}{2}\hat{i})\wedge(N\hat{j}) + (-x_1\hat{j}+\frac{L}{2}\hat{i})\wedge(N\hat{j})+(x_2\hat{j}+d\hat{i})\wedge(-mg\hat{j})=0 \)
Aquí me di cuenta de un error que cometí, y fue asumir que ambas normales son iguales.
"Corrigiendo" eso, ahora \( N_1 \) es la normal de la pata izquierda y \( N_2 \) la de la pata derecha:
1era Cardinal:y) \( N_1+N_2-g(M+m)=0 \)
2da Cardinal:k) \( (-x_1\hat{j}-\frac{L}{2}\hat{i})\wedge(N_1\hat{j}) + (-x_1\hat{j}+\frac{L}{2}\hat{i})\wedge(N_2\hat{j})+(x_2\hat{j}+d\hat{i})\wedge(-mg\hat{j})=0 \)
\( =\dfrac{LN_1}{2}-\dfrac{LN_2}{2}+dmg=0 \)
Ahora impongo \( N_1=0 \) para conseguir el peso máximo de la caja.
\( N_2-g(M+m)=0 \Rightarrow N_2=g(M+m) \)
Y sustituyendo en la ecuación del torque:
\( -\dfrac{Lg(M+m)}{2}+dmg=0 \)
\( -\dfrac{LM}{2}-\dfrac{Lm}{2}+dm=0 \)
\( m\left(d-\dfrac{L}{2}\right)=\dfrac{LM}{2} \)
Finalmente,
\( m=\dfrac{LM}{2d-L} \)
Esto concuerda con la respuesta del ejercicio, pero ¿el razonamiento fue correcto?
Saludos,
Franco.
