[franma]

Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:

Una masa \( m \) se encuentra sujeta por una cuerda sin masa e inextensible que pasa por una polea de masa \( M_2 \) y radio \( R_2 \) y luego se enrolla en otra polea de masa \( M_1 \) y radio \( R_1 \), como se muestra en la figura. La cuerda no desliza sobre las poleas. Ambas poleas son discos homogéneos y pueden rotar libremente sobre sus ejes de simetría que se encuentran fijos. Si \( m = 1 kg \), \( M_1= 4 kg \) y \( M_2 = 2 kg \), el módulo de la aceleración de la masa \( m \) es:

(a) \( 2,5m/s^2 \)
(b) \( 5,5m/s^2 \)
(c) \( 9,8m/s^2 \)
(d) \( 19,6m/s^2 \)
(e) \( 7,3m/s^2 \)



Intente realizar lo siguiente:
Tomando como eje k saliente positivo.

1era Cardinal (Bloque):
y) \(  T-mg=ma  \)

2da Cardinal (Polea \( M_1 \)):
k) \( R_1 \cdot T = I_1 \alpha_1 \)

2da Cardinal (Polea \( M_2 \)):
k) \( R_2 \cdot T - R_2 \cdot T = I_2 \cdot \alpha_2 \)

Aquí ya veo un problema, se anula el torque en la polea \( M_2 \), algo estoy planteando mal pero no logro verlo.

Espero alguien pueda indicarme como realizar correctamente la dinámica, creo yo que en eso esta mi error.

Dejo aquí la opción correcta para quien quiera comprobar su resultado:

Spoiler

Opción correcta: (a)

[cerrar]

Saludos,
Franco.

[Abdulai]

¿No dijiste que te gustaba hacer todo por energía?   

Si pongo el origen en la posición inicial de \( m \) y tomo como sentido positivo hacia abajo, debe cumplirse:

\( mgh = \frac{1}{2}J_1\omega_1^2+\frac{1}{2}J_2\omega_2^2+\frac{1}{2}mv^2 \)

Como la velocidad tangencial de las poleas es igual a la de descenso:

\( mgh = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}M_1R_1^2\right)\dfrac{v^2}{R_1^2}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}M_2R_2^2\right)\dfrac{v^2}{R_2^2}+\frac{1}{2}mv^2 = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{M_1+M_2}{2}+m\right)v^2 \)

Derivando...   (tener en cuenta que  \( v=\frac{dh}{dt}\quad,\quad a=\frac{dv}{dt}\quad,\quad \frac{dv^2}{dt}=2vv'= 2va \))

\( mg\cancel{v} = \left(\dfrac{M_1+M_2}{2}+m\right)\cancel{v}a \;\;\longrightarrow\;\;a=\dfrac{g}{1+\dfrac{M_1+M_2}{2m}} =  \dfrac{9.8}{4} = 2.45m/s^2 \)

Tal vez en estos ejercicios usaron \( g=10 \)  para simplificar los cálculos.

[JCB]

Hola a tod@s.

Al ser las poleas no ideales, se debe tener en cuenta que la tensión varía según el lado considerado.

1) Dinámica de la masa \( m \).

\( \sum{F}=ma \),

\( -T+mg=ma \),

\( T=mg-ma \) (1).

2) Dinámica de rotación de la polea 2.

\( \sum{M}=I_2\alpha_2 \),

\( -T_2R_2+TR_2=\dfrac{1}{2}m_2R_2^2\dfrac{a}{R_2} \),

\( -T_2+T=\dfrac{1}{2}m_2a \) (2).

3) Dinámica de rotación de la polea 1.

\( \sum{M}=I_1\alpha_1 \),

\( T_2R_1=\dfrac{1}{2}m_1R_1^2\dfrac{a}{R_1} \),

\( T_2=\dfrac{1}{2}m_1a \) (3).

Sustituyendo (1) y (3) en (2), y despejando,

\( a=\dfrac{mg}{m+\dfrac{m_1}{2}+\dfrac{m_2}{2}}=2,45\ m/s^2 \).

Saludos cordiales,
JCB.

[franma]

Buenas,

¿No dijiste que te gustaba hacer todo por energía?   

No sabia como relacionar aceleración con energía, pero ya me distes ideas para futuros ejercicios  .

Al ser las poleas no ideales, se debe tener en cuenta que la tensión varía según el lado considerado.

No tenia conocimiento de eso, lo tendré en cuenta para futuros ejercicios!.

Muchas gracias Abdulai y JCB por la ayuda!

Saludos,
Franco.