[franma]

Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Un cilindro homogéneo de masa \( M=1,65 kg \) y radio \( R= 0,24 m \) sube sin deslizar por un plano inclinado 30° con respecto a la horizontal. La velocidad inicial de su centro es \( v_0 = 0,98 m/s \). ¿Cuánto tiempo tarda en detenerse y comenzar a descender?
(a) 0,15s
(b) 0,23s
(c) 0,30s
(d) 0,40s
(e) 0,50s

Realice lo siguiente:
Primero por energía y midiendo la potencial gravitatoria desde la base del plano inclinado:
\( E_i=\dfrac{I\omega^2}{2} + \dfrac{Mv^2}{2} = \dfrac{MR^2v^2}{4R^2} + \dfrac{Mv^2}{2}=\dfrac{3Mv^2}{4} \)

\( E_f=Mgh \)

Ahora igualando por conservación de la energía:

\( Mgh=\dfrac{3Mv^2}{4} \Rightarrow h=\dfrac{3v^2}{4g}=0,0735 \)

Ahora si nos ayudamos de un dibujo de la situación. Tenemos el ángulo y el cateto opuesto, llamemos \( l \) a la hipotenusa buscada entonces tenemos:

\( \sin(30)=\dfrac{h}{l}\Rightarrow l=\dfrac{h}{\sin(30)}=0,147 \)

Ahora utilizamos que el tiempo que tardara en recorrer esa distancia es la distancia sobre la velocidad.

\( t=\dfrac{l}{v_0}=0,15s \)

Esta no es la respuesta correcta . No se si tengo mal el razonamiento o este no es el método, por ejemplo dan como dato el radio y la masa pero no los utilice.

Espero me puedan dar una idea de donde me equivoque o como afrontar el ejercicio.

Saludos,
Franco.

[Abdulai]

...
Ahora utilizamos que el tiempo que tardara en recorrer esa distancia es la distancia sobre la velocidad.

\( t=\dfrac{l}{v_0}=0,15s \)

Esta no es la respuesta correcta . No se si tengo mal el razonamiento o este no es el método, por ejemplo dan como dato el radio y la masa pero no los utilice....

Eso vale cuando la velocidad es constante, y acá no lo es.

[JCB]

Hola a tod@s.

Utilizando la Dinámica de rotación y la Cinemática, obtengo \( t=0,3\ s \) (respuesta c). ¿ Es la correcta, franma ?.

Saludos cordiales,
JCB.

[franma]

Buenas Abdulai,

...
Ahora utilizamos que el tiempo que tardara en recorrer esa distancia es la distancia sobre la velocidad.

\( t=\dfrac{l}{v_0}=0,15s \)

Esta no es la respuesta correcta . No se si tengo mal el razonamiento o este no es el método, por ejemplo dan como dato el radio y la masa pero no los utilice....

Eso vale cuando la velocidad es constante, y acá no lo es.

Ahora que lo dices estoy totalmente de acuerdo. Parece que el problema no era tan sencillo como lo vi al principio.

Continuo por dinámica para averiguar la aceleración:
Ejes x paralelo al plano inclinado y eje k positivo entrante:
1era Cardinal:
x) \( F_R-mg\sin(30)=ma \)
y) \( N-mg\cos(30)=0 \)

2da Cardinal:
k) \( -F_R=I\alpha=\dfrac{mR^2a}{2R}=\dfrac{mRa}{2} \Rightarrow -2F_R=ma \)

Igualando la primera y la tercera:

\( F_R-mg\sin(30)=-2F_R \)

\( -mg\sin(30)=-3F_R \Rightarrow F_R=\dfrac{mg\sin(30)}{3}=2,695 \)

\( -2F_R=ma \Rightarrow a=\dfrac{-2F_R}{m}\approx{-3,26} \)

Ahora continuamos con cinemática:
\( a(t)=-3,26 \)
\( v(t)=-3,26t + 0,98 \)
\( p(t)=\dfrac{-3,26t^2}{2}+0,98t \)

La distancia a recorrer es \( l=0,147 \)

\( 0,147=\dfrac{-3,26t^2}{2}+0,98t \Leftrightarrow{\dfrac{-3,26t^2}{2}+0,98t-0,147=0} \)

De esta ecuación salen 2 posibles soluciones  , \( x_1\approx{0,28} \) y \( x_2\approx{0,31} \)

Por favor que alguien me ilumine respecto a este suceso no se que interpretar.

Sin embargo de la velocidad, podemos igualarla a 0 y ver que:
\( 0=-3,26t + 0,98 \Rightarrow t\approx{0,3} \) que es la respuesta correcta.

¿Mi respuesta es casualidad o el razonamiento fue correcto?

Saludos,
Franco.

[franma]

Buenas JCB,

Hola a tod@s.

Utilizando la Dinámica de rotación y la Cinemática, obtengo \( t=0,3\ s \) (respuesta c). ¿ Es la correcta, franma ?.

Saludos cordiales,
JCB.

Felicitaciones , en efecto esa es la respuesta correcta.

Saludos,
Franco.

[JCB]

Hola a tod@s.

Como ya he escrito alguna vez, el método energético suele ser el más directo. Pero en esta ocasión, he preferido empezar por la Dinámica de rotación para determinar la aceleración del cilindro en el plano inclinado.

\( \sum{F_x}=ma_x \), siendo la dirección del eje X, paralela al plano inclinado.

\( mg\sin\theta-F_r=ma_x \) (1).

\( \sum{M}=I\alpha \),

\( F_rR=\dfrac{1}{2}mR^2\dfrac{a_x}{R} \),

\( F_r=\dfrac{1}{2}ma_x \). Sustituyendo en (1) y despejando,

\( a_x=\dfrac{2}{3}g\sin\theta=3,27\ m/s^2 \).

Finalmente,

\( v_f=v_i-a_xt \),

\( t=\dfrac{v_i}{a_x}=0,3\ s \).

Saludos cordiales,
JCB.

[Abdulai]

En este tipo de movimiento la aceleración es constante. Puede demostrarse derivando la expresión de la energía total.
Teniendo en cuenta esto resulta un problema meramente cinemático.

Si \( v \) varía linealmente (pues \( a=cte \))  entonces  \( l=\displaystyle\int_{0}^{t}v\;\text{d}t= v_{medio}\;t \)

Como \( v_{medio}=\frac{1}{2}(v_{max}+v_{min}) = \dfrac{v_0}{2}=0.49 m/s\;\;\longrightarrow\;\;t=\dfrac{l}{v_{medio}}=\dfrac{0.147}{0.49}=0.3s \)

[franma]

Buenas,

Hola a tod@s.

Como ya he escrito alguna vez, el método energético suele ser el más directo. Pero en esta ocasión, he preferido empezar por la Dinámica de rotación para determinar la aceleración del cilindro en el plano inclinado.

\( \sum{F_x}=ma_x \), siendo la dirección del eje X, paralela al plano inclinado.

\( mg\sin\theta-F_r=ma_x \) (1).

\( \sum{M}=I\alpha \),

\( F_rR=\dfrac{1}{2}mR^2\dfrac{a_x}{R} \),

\( F_r=\dfrac{1}{2}ma_x \). Sustituyendo en (1) y despejando,

\( a_x=\dfrac{2}{3}g\sin\theta=3,27\ m/s^2 \).

Finalmente,

\( v_f=v_i-a_xt \),

\( t=\dfrac{v_i}{a_x}=0,3\ s \).

Saludos cordiales,
JCB.

Me alegra saber que coincidimos en la dinámica , aunque yo como ya es bastante usual coloque el rozamiento en la dirección equivocada y por eso obtuve el signo de menos.

Luego para el despeje termine también haciéndolo desde la ecuación de la velocidad con la cinemática.

Me gustaría saber ahora, porque cuando intente hacerlo desde la distancia recorrida obtuve 2 soluciones para la ecuación de cinemática de la posición, ¿Es eso físicamente posible? O lo más probable cometí algún error.

En este tipo de movimiento la aceleración es constante. Puede demostrarse derivando la expresión de la energía total.
Teniendo en cuenta esto resulta un problema meramente cinemático.

Si \( v \) varía linealmente (pues \( a=cte \))  entonces  \( l=\displaystyle\int_{0}^{t}v\;\text{d}t= v_{medio}\;t \)

Como \( v_{medio}=\frac{1}{2}(v_{max}+v_{min}) = \dfrac{v_0}{2}=0.49 m/s\;\;\longrightarrow\;\;t=\dfrac{l}{v_{medio}}=\dfrac{0.147}{0.49}=0.3s \)

Excelente solución Abdulai  . Es más sofisticada de lo que se me podría haber llegado a ocurrir pero se llega satisfactoriamente al resultado.

Primero que todo agradecerles a ambos la ayuda , y quisiera agregar un pequeño comentario, se puede ver (creo yo) que en la mayoría de mis hilos siempre voy de cabeza por la energía, es que se ha convertido en mi herramienta favorita cuando veo que le puedo dar algún uso (anqué a veces insatisfactoriamente ).

Saludos,
Franco.