[Rosario]

Hola, como estan? Tenia una duda sobre este ejercicio

Un planeta de radio 5.000 km es orbitado con movimiento circular por un satélite. Dicho satélite demora 16
días en dar una vuelta completa cuando se lo coloca a una altura de 7.000 km sobre la superficie del planeta. Si
se incrementa dicha altura en 36.000 km, ¿en cuánto tempo dará una vuelta completa?

Segun yo para resolverlo puedo usar la ecuación de T2=4π2/GM.r3=4π2/GM.(RT+h)3, para averiguar la masa del planeta y despues teniendo la masa del planeta usar la misma ecuación pero cambiando el dato de la altura para averiguar el periodo pero no se si es que estoy despejando mal la ecuacion al momento de averiguar la masa o simplemente no es la manera de resolverlo. Entonces queria sacarme esa duda . Gracias

[JCB]

Hola a tod@s.

Me parece correcto aplicar la tercera ley de Kepler para órbitas circulares. Interpreto que “… si se incrementa dicha altura en 36.000 km …”, significa que la nueva altura sobre la superficie del planeta, pasa a ser \( h_2=(7.000+36.000)\ km=43.000\ km \). Haciendo números, me resulta que la masa del planeta es \( M=5,3487\cdot10^{20}\ kg \), y el nuevo período 128 días.

Saludos cordiales,
JCB.

[delmar]

Hola Rooo

Bienvenido al foro

Es conveniente utilizar el LATEX para escribir las fórmulas, para poderlas entenderlas

Respecto al problema con los datos se puede conocer la velocidad de rotación del satélite para el primer radio \( \theta_1'=\displaystyle\frac{2\pi}{16(24)(3600)} \) rad/s esto implica que la aceleración del satélite es \( a_1=\displaystyle\frac{F_{s1}}{m_s} \) donde \( F_{s1},m_s \) son respectivamente la fuerza sobre el satélite (primer radio) y la masa del satélite; pero por la Ley de la Gravitación universal se tiene : \( F_{s1}=G\displaystyle\frac{m_pm_s}{r_1^2}\Rightarrow{a_1=r_1 (\theta_1')^2=G\displaystyle\frac{m_p}{r_1^2}}\Rightarrow{Gm_p=(\theta_1')^2r_1^3} \) Ec1
Para el segundo radio \( r_2=43000(10)^3 \) m se puede calcular la aceleración usando la Ec 1,  \( \ \ a_2=r_2(\theta_2')^2=G\displaystyle\frac{m_p}{r_2^2} \) de acá se obtiene la velocidad de rotación \( \theta_2' \) y se obtiene \( T_2 \) el tiempo para dar una vuelta


Saludos

[Richard R Richard]

Cuando el satélite es único y el planeta es el mismo, puedes igualar por la tercera ley de Kepler

\( \dfrac{T_1^2}{(r_p+r_o)^3}=\dfrac{T_2^2}{(r_p+r_o+h)^3} \)

si \( T_1 = 16 \) días entonces el nuevo periodo a despejar  \( T_2 \) también esta expresado en días, lo importante es que todas las medidas estén en la misma unidad, y los radios contados desde el centro del planeta.

[JCB]

Hola a tod@s.

Perfecto, Richard, un cálculo todavía más directo. Y además, como \( \dfrac{r^3}{T^2}=\dfrac{GM}{4\pi^2}=cte. \), el período no depende de la masa del satélite, sino de la masa del planeta y del radio de la órbita.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Veámoslo numéricamente

\( \dfrac{T_1^2}{(r_p+r_o)^3}=\dfrac{T_2^2}{(r_p+r_o+h)^3} \)

\( \dfrac{(16d)^2}{(5000km+7000km)^3}=\dfrac{T_2^2}{(5000km+7000km+36000km)^3} \)

\( T_2=T_1\sqrt{\dfrac{(48000km)^3}{(12000km)^3}}=T_1\sqrt{4^3}=16 d\cdot 8 =128 dias  \)

[Rosario]

Holaa, muchas gracias. Me re sirvio ambas formas para solucionarlo, gracias