[franma]

Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Dos partículas de masa \( m_1 \) y \( m_2= \frac{m_1}{2} \) respectivamente, se encuentran en reposo dentro de un tubo delgado de radio \( R \). Inicialmente las masas están unidas mediante una cuerda que mantiene comprimido un resorte de constante \( k \) (que se encuentra entre las masas). En determinado momento, la cuerda se rompe y las masas son separadas por la acción del resorte. El resorte no está unido a las masas por lo que al alcanzar su longitud natural deja de estar en contacto estas. En este ejercicio despreciaremos el efecto de la gravedad, todas las fuerzas de fricción y, la longitud natural del resorte. Determine el ángulo \( \theta \) en el que las masas chocarán luego de que la cuerda se rompe.



Intente tanto con conservación del momento angular como utilizado energía pero no logro avanzar en la solución del ejercicio.
Supongo que de alguna manera se debe despejar la velocidad angular y luego utilizar cinemática para ver en que Angulo coinciden, pero no se como empezar el ejercicio.

¿Alguna idea para comenzarlo?

Saludos,
Franco.

[JCB]

Hola a tod@s.

Utilizando la conservación de la cantidad de movimiento, \( \theta \) me da \( 120^{\circ} \).

¿ Es correcto, franma ?.

Saludos cordiales,
JCB.

[franma]

Buenas JCB,

Es correcto .
Yo no logro dar con la solución.

A ver:
\( p_i=0 \)
\( p_f=m_1v_1-m_2v_2 \)

Entonces:
\( m_2v_2=m_1v_1 \)

\( \dfrac{m_1}{2}v_2=m_1v_1\Rightarrow v_2=2v_1 \)

Aquí no se como continuar, ¿por cinemática tal vez?

Masa 1:
\( \omega(t)=\dfrac{v_1}{R} \)

\( \phi(t)=\dfrac{v_1}{R}t \)

Masa 2:
\( \omega(t)=-\dfrac{2v_1}{R} \)

\( \phi(t)=-\dfrac{2v_1}{R}t \)

Pero no logro llegar a nada.

Saludos,
Franco.

[JCB]

Hola a tod@s.

Lo he empezado tal como tú, franma. Solo te falta una última relación entre el ángulo recorrido por la masa 1, y el ángulo recorrido por la masa 2.

Saludos cordiales,
JCB.

[franma]

Buenas JCB,

Si una tiene en modulo el doble de velocidad angular que la otra pues barrera el doble de ángulo en la misma cantidad de tiempo.

Luego el ángulo total barrido debe ser 360 (si no se "atraviesan"):
\( x+2x=360 \)
\( 3x=360 \)
\( x=120 \)

No creo que esta sea la relación buscada ni estoy seguro de si ese es el razonamiento correcto .

Saludos,
Franco.

[JCB]

Hola a tod@s.

Tu razonamiento es correcto, franma.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Hola a tod@s.

A continuación, y a modo de resumen, indico el proceso que he seguido para determinar \( \theta \) (o \( \theta_1 \)). Como decía en la respuesta # 1, parto de la conservación de la cantidad de movimiento. Antes de romper (o cortar) la cuerda, la cantidad de movimiento es cero,

\( 0=m_1v_1+m_2v_2 \),

\( 0=m_1v_1+\dfrac{m_1}{2}v_2 \),

\( v_2=-2v_1 \).

En módulo, \( v_2=2v_1 \), lo cual implica \( \omega_2=2\omega_1 \), y a la vez \( \theta_2=2\theta_1 \) (1).

Por otra parte, \( \theta_1+\theta_2=2\pi \). Sustituyendo (1),

\( \theta_1+2\theta_1=2\pi \), \( \theta_1=\dfrac{2\pi}{3}\ rad=120^{\circ} \).

Saludos cordiales,
JCB.

[franma]

Buenas JCB,

Pues que alegría . Estaba tan centrado terminar de resolverlo por cinemática que me en una primera instancia no se me ocurrió el método de resolución que empleamos.

Saludos,
Franco.