Hasta donde he dejado en negro, esta correcto, pero lo que sigue no esta muy claro el sustento científico ,(o no te he entendido para nada) la velocidad de escape es una función del radio en el cual evalúas el potencial gravitatorio, y g tambien lo es , como son funciones del radio , el tiempo no puede ser lineal, ya hemos hablado en el foro de como integrar ese tiempo entre dos alturas dadas, en caída libre...
Simplemente digo que si la velocidad de escape viene dada por la expresión \( \sqrt{2gR}
\), entonces existe una expresión a la que llamo \( t_{e}=\sqrt{\dfrac{2R}{g}}
\), tal que \( g=\dfrac{v_{e}}{t_{e}}
\).
No es más que esto:
\( \sqrt{\dfrac{2Rg}{(\dfrac{2R}{g})}}=\sqrt{g^{2}}=g
\)
...
Como \( G^{-1}
\) viene dada en unidades de densidad por segundo al cuadrado, la pregunta que yo me hice en su día fue que, si la densidad fuera la del cuerpo (siendo un cuerpo esférico o aproximadamente) escrita en función de su masa y su volumen, cuál tendría que ser la expresión para el tiempo; no escrito así, \( s^{2}
\), como unidades, sino también como una cuenta donde entrase el radio o lo que fuera (no sabía todavía) Y, sustituyendo cosas y tal, vi que era esto \( t^{2}=\dfrac{2R}{g}=\dfrac{2R^{3}}{MG}
\).
Ocurre que este “tiempo” visto en un ejercicio normal no es un tiempo, no corre, es constante; pero está en unidades de tiempo y es la expresión que funciona si buscamos dar sentido a las unidades (obligando a que la densidad sea la del cuerpo).
La cosa también vino del modelo cosmológico.
Yo lo tengo explicado en un libro que se llama “Cómo explotó el Universo”, de Nóvikov.
En la página 85 considera el primer momento de la expansión y la velocidad de expansión en ese instante; y escribe esta fórmula
\( v=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}+A}
\).
Donde dice que “A” es un valor que se opone al del otro sumando, es negativo (según él, y según el modelo de Friedmann) y que, al principio, era mucho menor, con lo cual se puede despreciar y queda simplemente así
\( v=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}
\).
Como ves, dejando aparte que se trata del Universo en expansión y el radio es variable y tal, la fórmula coincide con la de la velocidad de escape; lo que es la forma.
Y ahí sí tiene sentido el tiempo \( t=\sqrt{\dfrac{2R^{3}}{MG}}
\), porque es variable, como el radio del cuerpo en este caso.
Ahora, claro, si se piensa que el Universo, como una masa, se expande sin que, sin embargo, la masa que lo conforma se expanda (tal como se considera) no tiene sentido aplicar esta idea a un cuerpo celeste. Pero en otra teoría sí podría tenerlo; si se considerase que la materia también se expande (lo cual no sería verificable).
En cualquier caso, no importa, basta no darle sentido como "tiempo" si quieres, es una expresión, simplemente. Y esa constante existe y funciona, nada más, sin darle más vueltas.
Saludos.
