Tengo una funcíón con 2 componentes
$$g(y,z)=(y/(y^2+z^2)),(z/(y^2+z^2)))$$
Ahora no estoy seguro si simplemente puedo usar el gradiente, como si fuese un vector y multiplicar las componentes differenciadas con su differencial $$d_i$$. En nuestro grupo de estudios hay personas que dicen que hay que usar la matrix Jacobi, pero en teoria aun no la tuvimos en clase. Por eso queria usar el gradiente y tratar g como si fuese un vector
Salu2
Entiendo que por "diferencial total" te refieres a la derivada de \( g \). Si \( \partial g(x,y) \) es la derivada de \( g \) en \( (x,y) \) entonces
\( \displaystyle{
\partial g(x,y)(a,b)=\partial g(x,y)((a,0)+(0,b))=\partial g(x,y)(a(1,0)+b(0,1))\\
=a \partial g(x,y)(1,0)+b \partial g(x,y)(0,1)=a \partial_1 g(x,y)+b \partial _2 g(x,y)\tag1
} \)
donde las \( \partial _j \) son las derivadas parciales de \( g \) respecto del argumento \( j \)-th, es decir, por ejemplo usando la notación de Leibniz sería \( \partial _1 g(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}g(x,y) \), etc. La matriz de Jacobi es expresar la anterior relación utilizando matrices, es decir, con una matriz con vectores columna \( \partial _1 g(x,y) \) y \( \partial _2 g(x,y) \).
Añado: si \( g=(g_1,g_2) \) para funciones \( g_1,g_2:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) entonces de la relación en (1) podemos demostrar que la matriz de Jacobi también puede definirse como la matriz de vectores fila \( \nabla g_1(x,y) \) y \( \nabla g_2(x,y) \).
