[Chocolate]

Hola
Tengo una duda con 2 enunciados.

I)

Una función continuamente diferenciable
 
$$c: \mathbb{R }→ \mathbb{R}$$ con $$dc_x$$ inyectiva para todo $$x ∈ R$$  es inyectiva

Yo creo que la esta declaración es falsa, queria usar como ejemplo polinomio con potencia par.  Pero no estoy seguro si es he entendido mal el enunciado.


II)
El segundo es similar, pero me confunde el $$\mathbb{R^2}$$

Dice:
Una función continuamente diferenciable
 
$$c: \mathbb{R }→ \mathbb{R^2}$$ con $$dc_x$$ inyectiva para todo $$x ∈ R$$  es inyectiva

La verdad es que no me puedo imaginar como podemos dierenciar del  $$\mathbb{R }→ \mathbb{R^2}$$.
Creo que es principalmente la segunda con la que tengo dudas, pero tampoco es que este bien seguro con mi respuesta para la primera

Un saludos y Gracias

[pierrot]

I)

Una función continuamente diferenciable
 
$$c: \mathbb{R }→ \mathbb{R}$$ con $$dc_x$$ inyectiva para todo $$x ∈ R$$  es inyectiva

Yo creo que la esta declaración es falsa, queria usar como ejemplo polinomio con potencia par.  Pero no estoy seguro si es he entendido mal el enunciado.

El problema es que si tomas, por ejemplo, \( c(x)=x^2 \), tendrías que su diferencial en \( x \) es \( dc(x)(h)=2x\cdot h \) y no sería inyectiva si \( x=0 \) (ya que en ese caso sería la función nula). En general, si tienes \( f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) diferenciable, la diferencial de \( f \) en \( x \) no es otra que la aplicación lineal \( df(x) \) dada por \( h\mapsto f'(x)h \) y ésta es una función inyectiva si y sólo si \( f'(x)\ne 0 \) (ya que en caso contrario, \( df(x)\equiv 0 \)). O sea, al decirte el enunciado que la diferencial es inyectiva para cualquier \( x \), te están diciendo que la derivada no se anula nunca. ¿Qué puedes concluir?

II)
El segundo es similar, pero me confunde el $$\mathbb{R^2}$$

Dice:
Una función continuamente diferenciable
 
$$c: \mathbb{R }→ \mathbb{R^2}$$ con $$dc_x$$ inyectiva para todo $$x ∈ R$$  es inyectiva

La verdad es que no me puedo imaginar como podemos dierenciar del  $$\mathbb{R }→ \mathbb{R^2}$$.

Para bajarlo a tierra, imagina por ejemplo, que \( c \) es la parametrización de una curva en el plano \( c(t)=(x(t),y(t)) \).

[Chocolate]

I)

Una función continuamente diferenciable
 
$$c: \mathbb{R }→ \mathbb{R}$$ con $$dc_x$$ inyectiva para todo $$x ∈ R$$  es inyectiva

Yo creo que la esta declaración es falsa, queria usar como ejemplo polinomio con potencia par.  Pero no estoy seguro si es he entendido mal el enunciado.

El problema es que si tomas, por ejemplo, \( c(x)=x^2 \), tendrías que su diferencial en \( x \) es \( dc(x)(h)=2x\cdot h \) y no sería inyectiva si \( x=0 \) (ya que en ese caso sería la función nula). En general, si tienes \( f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) diferenciable, la diferencial de \( f \) en \( x \) no es otra que la aplicación lineal \( df(x) \) dada por \( h\mapsto f'(x)h \) y ésta es una función inyectiva si y sólo si \( f'(x)\ne 0 \) (ya que en caso contrario, \( df(x)\equiv 0 \)). O sea, al decirte el enunciado que la diferencial es inyectiva para cualquier \( x \), te están diciendo que la derivada no se anula nunca. ¿Qué puedes concluir?

II)
El segundo es similar, pero me confunde el $$\mathbb{R^2}$$

Dice:
Una función continuamente diferenciable
 
$$c: \mathbb{R }→ \mathbb{R^2}$$ con $$dc_x$$ inyectiva para todo $$x ∈ R$$  es inyectiva

La verdad es que no me puedo imaginar como podemos dierenciar del  $$\mathbb{R }→ \mathbb{R^2}$$.

Para bajarlo a tierra, imagina por ejemplo, que \( c \) es la parametrización de una curva en el plano \( c(t)=(x(t),y(t)) \).

Gracias por la respuesta, entonces de primer enunciado puedo concluir que no es verdad.
Vale, lo segundo tiene sentido. Voy a ver si encuentro un ejemplo, para demostrar que no es verdad el enunciado

[pierrot]

Gracias por la respuesta, entonces de primer enunciado puedo concluir que no es verdad.

¿Que no es verdad o es una errata? A ver, si tienes una función \( f \) de clase \( C^1 \) cuya derivada no se anula nunca, esta última es o bien positiva en todo su dominio, o bien negativa en todo su dominio (ya que en caso contrario, por el teorema de Bolzano, tendría un cero en alguna parte). Si la derivada es positiva la función \( f \) será monótona creciente y si es negativa será monótona decreciente. ¿Las funciones monótonas son inyectivas o no?

[Chocolate]

Gracias por la respuesta, entonces de primer enunciado puedo concluir que no es verdad.

¿Que no es verdad o es una errata? A ver, si tienes una función \( f \) de clase \( C^1 \) cuya derivada no se anula nunca, ésta última es o bien positiva en todo su dominio, o bien negativa en todo su dominio (ya que en caso contrario, por el teorema de Bolzano, tendría un cero en alguna parte). Si la derivada es positiva la función \( f \) será monótona creciente y si es negativa será monótona decreciente. ¿Las funciones monótonas son inyectivas o no?

Perdon, queria decir que el primer enunciado no es verdad. Me he explicado mal

[Chocolate]

Creo que he encontrado un ejemplo para el enunciado 2, es la imersion:

c(x) = (cos(x), sin(x)), Creo que por la periodicidad de cos(x) y sin(x) en teoria las funciones no pueden ser inyectivas.

Estoy en lo correcto o no he tomado en cuenta algo? ^^

[pierrot]

Creo que he encontrado un ejemplo para el enunciado 2, es la imersion:

c(x) = (cos(x), sin(x)), Creo que por la periodicidad de cos(x) y sin(x) en teoria las funciones no pueden ser inyectivas.

Estoy en lo correcto o no he tomado en cuenta algo? ^^

Correcto. Si tomas \( c(t)=(\cos t,\sen t) \) (parametrización de la circunferencia unitaria con velocidad angular 1), esta función no es inyectiva porque, por la periodicidad de las funciones trigonométricas, \( c(t) = c(t+2k\pi) \) para cualquier \( t\in \mathbb{R} \) y \( k\in \mathbb{Z} \). Sin embargo, sí que es cierto que \( dc(t) \) es una función inyectiva para cualquier \( t \), ya que es la recta parametrizada \( h\mapsto \dot{c}(t)h \) donde \( \dot{c}(t)=(-\sin t, \cos t) \) es el vector tangente a la curva \( c \) en el ángulo \( t \) (o sea, para cada \( h \) obtienes un punto diferente de la recta).

En resumen, II) es falsa pero I) es verdadera.

(Aclaro porque, de nuevo, no sé si fue una nueva errata pero vuelves a decir que "no es verdad" el apartado I).)

Spoiler

Perdon, queria decir que el primer enunciado no es verdad. Me he explicado mal

[cerrar]

[Chocolate]

Creo que he encontrado un ejemplo para el enunciado 2, es la imersion:

c(x) = (cos(x), sin(x)), Creo que por la periodicidad de cos(x) y sin(x) en teoria las funciones no pueden ser inyectivas.

Estoy en lo correcto o no he tomado en cuenta algo? ^^

Correcto. Si tomas \( c(t)=(\cos t,\sen t) \) (parametrización de la circunferencia unitaria con velocidad angular 1), esta función no es inyectiva porque, por la periodicidad de las funciones trigonométricas, \( c(t) = c(t+2k\pi) \) para cualquier \( t\in \mathbb{R} \) y \( k\in \mathbb{Z} \). Sin embargo, sí que es cierto que \( dc(t) \) es una función inyectiva para cualquier \( t \), ya que es la recta parametrizada \( h\mapsto \dot{c}(t)h \) donde \( \dot{c}(t)=(-\sin t, \cos t) \) es el vector tangente a la curva \( c \) en el ángulo \( t \) (o sea, para cada \( h \) obtienes un punto diferente de la recta).

En resumen, II) es falsa pero I) es verdadera.

(Aclaro porque, de nuevo, no sé si fue una nueva errata pero vuelves a decir que "no es verdad" el apartado I).)

Spoiler

Perdon, queria decir que el primer enunciado no es verdad. Me he explicado mal

[cerrar]

Haha, sii, perdon. Es que a veces esribo más rapido de lo que puedo pensar. Osea si es un errata