[Julio G]

Hola tengo problemas con la demostración del siguiente ejercicio, debo hacerlo por definición de continuidad (sin limites ), creo que debvo usar el teorema de valor intermedio pero no se como ayuda:

+)Sea \( f:\Bbb R\to \Bbb R \) una función continua tal que:

                                             \( f(x-1)=-f(x) \)  \( \forall{x\in{\Bbb R}} \)

a) muestre que la función posee un valor max y un valor min

[delmar]

Hola JULIO G

Bienvenido al foro

Es conveniente que muestres que has hecho por el problema, así la ayuda es más entusiasta y eficaz.

Respecto al problema solamente para ponerla en la forma clásica se hace unos cambios de variables :
\( y=x-1\Rightarrow{x=y+1}\Rightarrow{f(y)=-f(y+1), \ \ \forall{y\in{R}}} \)

Esto implica también \( f(y+1)=-f(y+2)\Rightarrow{f(y+2)=f(y), \ \ \forall{y}\in{R}} \)

Esta función con esta propiedad es una función periódica de periódo 2 los valores que toma la función en el intervalo \( [0,2) \) se repiten en los periódos sucesivos o en los anteriores de esta manera el máximo y el mínimo que existen en el intervalo \( [0,2] \) serán respectivamente el máximo y el mínimo de la función en todo R

Saludos

Nota : Existe un teorema básico para las funciones continuas, en un intervalo cerrado siempre presentan un máximo y un mínimo. Por otro lado la continuidad de una función no implica ser derivable.