[Copiloto]

Hola,
   Estoy tratando de resolver este problema de funciones y simplificarlo. Aqui esta el problema :

\( f(x)=x^3 \)

\( \displaystyle\frac{f(x+\triangle{x})-f(x)}{\triangle{x}}
 \)


Podria alguien explicarme de como llegar a su resultado que es :
\(  3x^2+3x\triangle{x}+(\triangle{x})^2 \)
pero entonces \( \triangle{x} \neq 0  \)
 
Soy nuevo en foro y estoy practicando para usar LaTex asi que  trate de hacer lo mejor posible ,
Gracias.

[mathtruco]

Hola Copiloto.

Supongo que tu función es \( f(x)=x^3 \), y querías calcular \( f(x+\Delta x)-f(x) \). Es sólo hacer las cuentas:

    \( f(x+\Delta x)-f(x)=(x+\Delta x)^3-x^3 \)

                                      \( =x^3+3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3-x^3 \)

                                      \( =3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3 \)

                                      \( =\Big(3x^2+3x\Delta x+(\Delta x)^2\Big)\,(\Delta x) \)


La expresión

    \( \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \)

se utiliza en derivadas (que posiblemente aún no ves), y ahí \( \Delta x\neq 0 \).

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Sobre la escritura de ecuaciones, las ecuaciones que escribí son generadas con las siguientes líneas:


[tex]f(x+\Delta x)-f(x)=(x+\Delta x)^3-x^3[/tex]

[tex]=x^3+x^2\Delta x+x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3-x^3[/tex]

[tex]=x^2\Delta x+x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3[/tex]

[tex]=\Big(x^2+x\Delta x+(\Delta x)^2\Big)\,(\Delta x)[/tex]


También puedes pinchar sobre mis ecuaciones (click derecho), o las ecuaciones de cualquier usuario, y ver el código que las genera.
Para más detalles sobre la escritura de ecuaciones puedes revisar el hilo comenzando a editar fórmulas con LaTeX. Ya verás que rápidamente uno se acostumbra.

P.D. Este link te puede servir para practicar o probar como escribir cosas en el foro: https://www.rinconmatematico.com/mathjax/

[Copiloto]

Hola mathtruco,
     Muchas gracias por aclararme la duda , solo me pregunto si usaste alguna y cual fórmula  para llegar desde aqui :  \(  f(x+Δx)−f(x)=(x+Δx)3−x3

                             =x3+3x2Δx+3x(Δx)2+(Δx)3−x3.
 \) luego aqui.

Gracias.

[Juan Pablo Sancho]

Uso que :
\( (a+b)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2b + 3 \cdot ab^2 +b^3  \)

[mathtruco]

Efectivamente usé lo que menciona Juan Pablo Sancho, no hay otra opción.

Uso que :
\( (a+b)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2b + 3 \cdot ab^2 +b^3  \)

Hay varias formas de obtenerlo:

Forma 1: Saberla de memoria.

Forma 2: Hacer las cuentas:

    \( (a+b)^3=(a+b)(a+b)^2=(a+b)(a^2+2ab+b^2)=\dots=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \).

Forma 3: Usando el Triángulo de Pascal (en realidad usé esta forma).

Forma 4: Usando el Teorema del Binomio:

    \( (a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k \),   con \( n=3 \).


Puedes elegir la que más te acomode, como menciono el Triángulo de Pascal es la que más me acomoda a mí.

[Copiloto]

Muchas gracias a todos !