[franma]

Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Un disco de hockey de \( m = 0.30 kg \) de masa se desliza sobre una superficie horizontal de hielo entre dos resortes, cada uno con constante \( k = 1.2 N/m \). Cuando ambos resortes no están deformados, la distancia entre sus extremos es \( 1.0 m \). Grafica la posición del disco en función del tiempo para demostrar que el movimiento es periódico. Si su velocidad en el punto medio de la pista es de \( 1.5 m/s \), determina su período.



Me piden graficar su posición, pero me parece mejor si primero hayo su ecuación de movimiento y solución para luego recién graficarla, ya que será mas fácil y aprovechare a practicar mas este tema.

Lo que logre hacer (aunque no se si de utilidad) fue por energía averiguar la compresión máxima del resorte:

\( E_i=\dfrac{mv_0^2}{2} \)

\( E_f=\dfrac{kx^2}{2} \)

\( E_i=E_f \Rightarrow x=\sqrt{\dfrac{mv_0^2}{k}} \)

Por lo que la amplitud del movimiento es \( 0.5m + x \)

Ahora utilizando el razonamiento "inverso" podemos ver que cuando el disco sale disparado del resorte lo hace con una velocidad \( v_0 \).

Ya tenemos \( x_0 \), \( v_0 \), y la amplitud  Donde me tranco es al determinar la ecuación del movimiento...
Por 1era cardinal no se me ocurre como hacerlo, ya que tengo los 2 resortes y no entiendo exactamente como plantearla.
¿Tal vez pueda ser por energía?

\( \dfrac{kx^2}{2} + \dfrac{kx^2}{2} + \dfrac{mv^2}{2}=E_{cte} \) para las posiciones de estiramiento debería poner algún tipo de constante que me ayude con las posiciones de equilibrio pero no se como.

¿O tal vez lo puedo tratar como un resorte solo y aplicar lo que ya conozco para el caso de 1 resorte?

Espero me puedan guiar en como continuar.

Saludos,
Franco.

[Abdulai]

...¿O tal vez lo puedo tratar como un resorte solo y aplicar lo que ya conozco para el caso de 1 resorte?

Correcto, tenés que distinguir dos situaciones:  Cuando la masa está en contacto con el resorte y cuando no.

- Cuando está en contacto es un sistema masa-resorte cuyo período sabés que es \( T_1=2\pi\displaystyle\sqrt{\dfrac{m}{k}} \)
Como los resortes son iguales y cada uno está en contacto un semiperíodo, éste será el tiempo total correspondiente a los resortes.

- Cuando no está en contacto,  la distancia que recorre es 1m , así que el tiempo es \( T_2= 2\dfrac{L}{V} \) (ida y vuelta)

- Luego el período es :  \( T = T_1+T_2 \)

[franma]

Buenas Abdulai,

...¿O tal vez lo puedo tratar como un resorte solo y aplicar lo que ya conozco para el caso de 1 resorte?

Correcto, tenés que distinguir dos situaciones:  Cuando la masa está en contacto con el resorte y cuando no.

- Cuando está en contacto es un sistema masa-resorte cuyo período sabés que es \( T_1=2\pi\displaystyle\sqrt{\dfrac{m}{k}} \)
Como los resortes son iguales y cada uno está en contacto un semiperíodo, éste será el tiempo total correspondiente a los resortes.

- Cuando no está en contacto,  la distancia que recorre es 1m , así que el tiempo es \( T_2= 2\dfrac{L}{V} \) (ida y vuelta)

- Luego el período es :  \( T = T_1+T_2 \)

Entonces la ecuación de movimiento quedaría (tomando la posición inicial como \( x=0 \))
\( A=0 \)

\( B=v_0\cdot\sqrt{\dfrac{m}{k}}=0.75 \)

\( T=2\pi\displaystyle\sqrt{\dfrac{m}{k}}+2\dfrac{L}{V} =\pi+\dfrac{2}{1.5} \)

\( \omega=2\pi\cdot \dfrac{1}{T}=\dfrac{2\pi}{T}\cong1.4 \)

\( x(t)=0.75\cdot\sin(1.4t) \)

¿Es correcto?

Saludos,
Franco.

[Richard R Richard]

la ecuacion del movimiento responde a


si tomas posición 0 de referencia en el medio entre los dos resortes sin compresión y si partes a tiempo 0 justo desde origen de referencia hacia el resorte que esté en posición positiva respecto del sistema de referencia , la posición te queda


\( x(t)=vt\quad\to\quad 0\leq t<\dfrac{x_l}{2v} \)


\( x(t)= \dfrac{x_l}{2}+v\sqrt{\dfrac mk}\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\,(t-\frac{x_l}{2v})\right)\quad\to\quad\dfrac{x_l}{2v} \leq t<\dfrac{x_l}{2v}+\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \)


\( x(t)=\dfrac{x_l}{2}-v\left(t-(\frac{x_l}{2v}+\pi\sqrt{\frac{m}{k}})\right)\quad \to \quad \dfrac{x_l}{2v}+\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\leq t <\dfrac{3x_l}{2v}+\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \)


\( x(t)=-\dfrac{x_l}{2}-v\sqrt{\dfrac mk}\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\,(t-(\dfrac{3x_l}{2v}+\pi\sqrt{\frac{m}{k}}))\right)\quad \to \quad \dfrac{3x_l}{2v}+\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\leq t<\dfrac{3x_l}{2v}+2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \)


\( x(t)=-\dfrac{x_l}{2}+v\left(t-(\frac{3x_l}{2v}+2\pi\sqrt{\frac{m}{k}})\right) \quad \to \quad \dfrac{3x_l}{2v}+2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \leq  t< T_1+T_2=\dfrac{2x_l}{v}+2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \)

[Abdulai]

....
Entonces la ecuación de movimiento quedaría (tomando la posición inicial como \( x=0 \))
\( A=0 \)

\( B=v_0\cdot\sqrt{\dfrac{m}{k}}=0.75 \)

\( T=2\pi\displaystyle\sqrt{\dfrac{m}{k}}+2\dfrac{L}{V} =\pi+\dfrac{2}{1.5} \)

\( \omega=2\pi\cdot \dfrac{1}{T}=\dfrac{2\pi}{T}\cong1.4 \)

\( x(t)=0.75\cdot\sin(1.4t) \)

¿Es correcto?

No, el período es la suma del tiempo de viaje y el que está en contacto con el resorte.  Es lineal y senoidal por tramos, no podés "unificar", la expresión debe ser del estilo como puso Richard R Richard.

La gráfica del movimiento es de este estilo:



Las "crestas" son senoides y el resto rectas.
Ojo que es a modo de ejemplo, en los ejes puse cualquier valor.

[franma]

Buenas,

Ya me parecía que mi ecuación era demasiada simple como para representar este sistema .
Agradezco mucho el esfuerzo de Richard en poner la ecuación en su forma explicita y a Abdulai por la grafica, tal vez por eso el ejercicio pedía solamente la grafica aproximada y el periodo (ambas cosas que se encuentran con facilidad) y yo sin querer lo complique a sobremanera.

Seguiré investigando sobre el tema y intentare con más ejercicios .

Saludos,
Franco.