[Ariel Fernández]

Buenas noches a todos. Con mi tía tenemos una duda con respecto al siguiente ejercicio que dice lo siguiente:
Dado \( f(x)=x^3+\displaystyle\int_{1}^{x^2}e^{\cos{(t\pi/2)}}\, dt \) hallar el polinomio de Taylor de orden 2 alrededor de a=1. Nuestra duda tiene que ver sobre la integración de esa función, nos parece que podría ser de tipo no elemental o directamente no integrable.  Agradecería que nos puedan ayudar. Saludos

Posdata: estoy aprendiendo de a poco a usar LaTex, así que pido disculpas si por ahí me como una mala escritura (lo quiero previsualizar pero no me aparece nada sino solo lo que escribí, no sé por qué ocurre eso).

[Masacroso]

Buenas noches a todos. Con mi tía tenemos una duda con respecto al siguiente ejercicio que dice lo siguiente:
Dado \( f(x)=x^3+\int_{1}^{x^2}e^{\cos{(t\pi/2)}}\, dt \) hallar el polinomio de Taylor de orden 2 alrededor de a=1. Nuestra duda tiene que ver sobre la integración de esa función, nos parece que podría ser de tipo no elemental o directamente no integrable.  Agradecería que nos puedan ayudar. Saludos

Posdata: estoy aprendiendo de a poco a usar LaTex, así que pido disculpas si por ahí me como una mala escritura (lo quiero previsualizar pero no me aparece nada sino solo lo que escribí, no sé por qué ocurre eso).

Efectivamente no parece que tenga una primitiva elemental. Igualmente para hallar el polinomio de Taylor que te piden no te hace falta conocer alguna primitiva de ese integrando.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas noches a todos. Con mi tía tenemos una duda con respecto al siguiente ejercicio que dice lo siguiente:
Dado \( f(x)=x^3+\displaystyle\int_{1}^{x^2}e^{\cos{(t\pi/2)}}\, dt \) hallar el polinomio de Taylor de orden 2 alrededor de a=1. Nuestra duda tiene que ver sobre la integración de esa función, nos parece que podría ser de tipo no elemental o directamente no integrable.  Agradecería que nos puedan ayudar. Saludos

Ampliando lo apuntado por Masacroso, ten en cuenta que para hallar el polinomio lo que necesitas es integrar derivar y:

\( \left(\displaystyle\int_{h(x)}^{g(x)}f(t)dt\right)'=f(g(x))g'(x)-f(h(x))h'(x) \)

Saludos.

CORREGIDO

[Ariel Fernández]

Hola Luis. Cuando dices "lo que necesitas es integrar" no era derivar ? Ya que en la fórmula que pones aparece una derivada. Luego  lo que vemos es que esa integral esta con respecto a t y no a x, y lo que no estamos sabiendo es cómo derivaríamos f(x) si el otro sumando es una integral con respecto a t. Luego, con respecto a la fórmula que me enviaste: no afecta nada que la integral sea definida? Digo por el hecho de intentar derivar una integral definida y no indefinida... ¿Existe la derivada de una integral definida? Saludos

[franma]

Buenas ariel fernandez,

Para este ejercicio solamente debes utilizar el TFC y observar que en el ejercicio tenemos la composición de 2 funciones, la integral indefinida y \( x^2 \) así que deberemos utilizar la regla de la cadena.

Si \( F(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}f(t)dt \) entonces por el TFC \( F'(x)=f(x) \)

Ahora si evaluamos \( F(x) \) en otra función (composición) \( F(g(x))=\displaystyle\int_{1}^{g(x)}f(t)dt \) entonces por el TFC y la regla de la cadena \( F'(x)=f(g(x))\cdot g'(x) \).

Ahora veamos como seria la primera derivada del ejercicio como ejemplo:

\( f(x)=x^3+\displaystyle\int_{1}^{x^2}e^{\cos{(t\pi/2)}}\ dt \Rightarrow f'(x)=3x^2+e^{\cos{(x^2\cdot\pi/2)}}\cdot 2x \)

Espero haya sido de ayuda.

Saludos,
Franco.

[Ariel Fernández]

Hola chicos, ahí por fin hemos entendido el mecanismo que nos han enviado ustedes. Nunca pensamos que solamente habría que aplicar el TFC sin necesidad de tener que hallar alguna primitiva de la función con integral. Gracias Masacroso, Luis y Franco. Sólo una curiosidad más: ya sabemos ahora que no hace falta conocer la primitiva de esa función para poder resolver lo que nos pide la consigna, sino solamente derivarla por término hasta el orden dos y luego aplicar la formula del polinomio de Taylor para x=1 (¿así sería verdad?)  pero si algún caso debiera hallarla: ¿cómo podría proceder? porque tal y como dicen si la función es integrable pero no tiene una primitiva elemental. entonces el trabajo resultaría muy laborioso, ¿no? Saludos

[Fernando Revilla]

ya sabemos ahora que no hace falta conocer la primitiva de esa función para poder resolver lo que nos pide la consigna, sino solamente derivarla por término hasta el orden dos y luego aplicar la formula del polinomio de Taylor para x=1 (¿así sería verdad?)

Así sería.

pero si algún caso debiera hallarla: ¿cómo podría proceder? porque tal y como dicen si la función es integrable pero no tiene una primitiva elemental. entonces el trabajo resultaría muy laborioso, ¿no? Saludos

En tu aserto está la respuesta. Más que laborioso sería imposible  .

[Ariel Fernández]

jaja buenísimo, tema resuelto entonces  . Nuevamente gracias, saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola Luis. Cuando dices "lo que necesitas es integrar" no era derivar ? Ya que en la fórmula que pones aparece una derivada.

Si, fue una errata. Quise decir "lo que necesitas es derivar". 

Lo he corregido. Gracias por avisar.

Saludos.