[Soofiaa]

Se define para \( x\geq{} 0 \):

                \( e^x = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty{\displaystyle\frac{x^k}{k!}} = \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\left(1+\displaystyle\frac{x}{n}\right)^n} \)

Sea \( \{ u_n \} \) una sucesión tal que \( u_n \downarrow 0 \) cuando \( n \) tiende a \( \infty \)  y \( u_n \geq{0} \); se define la sucesión

             \( v_n = \left(1+u_n a\right)^{\displaystyle\frac{1}{u_n}} \)

Encuentre \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{v_n} \).
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Buenas, ¿como puedo aplicar lo primero en lo que piden? Muchas gracias de antemano

[Juan Pablo Sancho]

De ahora en adelante pon lo que intentas en cada ejercicio.

Será \( u_n > 0  \).
Tenemos \( \displaystyle e^x = \lim_{n \to +\infty} (1+\dfrac{x}{n})^n  \)

Sea \( \lfloor \dfrac{1}{u_n} \rfloor = n_u \in \mathbb{N}  \)

Tenemos \( \displaystyle (1+\dfrac{a}{n_u + 1})^{n_u + 1 } \leq (1+a \cdot u_n)^{\dfrac{1}{u_n}} \leq   (1+\dfrac{a}{n})^{\dfrac{1}{u_n}} \leq (1+\dfrac{a}{n})^{n_u+1}  \)