[sofia]

Hallar el valor de \( k \epsilon\mathbb{R} \) para el cual C= \(  {(1,0,2); (-1,4,k);(-1,1,0)}  \) no es una base en \( \mathbb{R^3} \). Para dicho valor de k, el subespacio generado C es..

A. C=  \( {(a,b,c);a\epsilon\mathbb{R}; b \epsilon\mathbb{R}; c\epsilon\mathbb{R}}  \)
B. C= \( {(2a;2b;2a+2b); a\epsilon\mathbb{R};b\epsilon\mathbb{R}}  \)
C. C= \( {(a;b;2a+2b); a\epsilon\mathbb{R};b\epsilon\mathbb{R}}  \)

[mathtruco]

Hola sofia.

Para próximas preguntas cuéntanos qué has intentado para responder a las las dudas específicas que tengas.

    \( \alpha(1,0,2)+\beta(-1,4,k)+\gamma(-1,1,0)=(0,0,0) \)

        \( \Leftrightarrow \begin{cases}\alpha-\beta-\gamma&=&0\\ 4\beta+\gamma&=&0\\ 2\alpha+k\beta&=&0\end{cases} \)

        \( \Leftrightarrow \begin{bmatrix}1&-1&-1\\ 0&4&1\\ 2&k&0\end{bmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \)


Caso 1:
  Si el determinante de la matriz es distinto de cero, entonces el sistema tiene como única solución la nula, esto es \( \alpha=\beta=\gamma=0 \), y por tanto los vectores formarán una base de \( \mathbb{R}^3 \).

Caso 2:
  Y si el determinante es distinto de cero igual a cero, entonces el sistema tendrá infinitas soluciones, y por tanto los vectores no serán una base de \( \mathbb{R}^3 \).

Entonces debes calcular el determinante y ver para qué valores de \( k \) es distinto de igual a cero. Nota que luego de calcular el valor de \( k \) puedes verificar que efectivamente los 3 vectores son linealmente independiente, y con eso estar segura que llegaste a la solución correcta.

Si quieres escribes el desarrollo y acá lo revisamos.

P.D. En rojo una edición posterior al envío del mensaje (gracias franma por advertirlo).

[franma]

Buenas mathtruco,

Hola sofia.

Para próximas preguntas cuéntanos qué has intentado para responder a las las dudas específicas que tengas.

    \( \alpha(1,0,2)+\beta(-1,4,k)+\gamma(-1,1,0)=(0,0,0) \)

        \( \Leftrightarrow \begin{cases}\alpha-\beta-\gamma&=&0\\ 4\beta+\gamma&=&0\\ 2\alpha+k\beta&=&0\end{cases} \)

        \( \Leftrightarrow \begin{bmatrix}1&-1&-1\\ 0&4&1\\ 2&k&0\end{bmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \)


Caso 1:
  Si el determinante de la matriz es cero, entonces el sistema tiene como única solución la nula, esto es \( \alpha=\beta=\gamma=0 \), y por tanto los vectores formarán una base de \( \mathbb{R}^3 \).

Caso 2:
  Y si el determinante es distinto de cero entonces el sistema tendrá infinitas soluciones, y por tanto los vectores no serán una base de \( \mathbb{R}^3 \).

Entonces debes calcular el determinante y ver para qué valores de \( k \) es distinto de cero. Nota que luego de calcular el valor de \( k \) puedes verificar que efectivamente los 3 vectores son linealmente independiente, y con eso estar segura que llegaste a la solución correcta.

Si quieres escribes el desarrollo y acá lo revisamos.

¿No seria al revés de lo que dices del valor del determinante?
Ese determinante se calcula con facilidad, yo obtuve: \( det(C)=-k+6 \).
De aquí es fácil observar que si \( k=6 \) la matriz tiene determinante \( 0 \) y por lo tanto el sistema de ecuaciones será compatible indeterminado.

También si se tiene la teoría disponible, tenemos el teorema que nos afirma que si tenemos un EV de dimensión \( n \), entonces \( n \) vectores LI serán base del mismo por lo que el determinante debe de ser distinto de \( 0 \) para que nuestros 3 vectores sean base de \( \mathbb{R}^3 \).

Saludos,
Franco.

[delmar]

Hola

Buenas mathtruco,

Hola sofia.

Para próximas preguntas cuéntanos qué has intentado para responder a las las dudas específicas que tengas.

    \( \alpha(1,0,2)+\beta(-1,4,k)+\gamma(-1,1,0)=(0,0,0) \)

        \( \Leftrightarrow \begin{cases}\alpha-\beta-\gamma&=&0\\ 4\beta+\gamma&=&0\\ 2\alpha+k\beta&=&0\end{cases} \)

        \( \Leftrightarrow \begin{bmatrix}1&-1&-1\\ 0&4&1\\ 2&k&0\end{bmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \)


Caso 1:
  Si el determinante de la matriz es cero, entonces el sistema tiene como única solución la nula, esto es \( \alpha=\beta=\gamma=0 \), y por tanto los vectores formarán una base de \( \mathbb{R}^3 \).

Caso 2:
  Y si el determinante es distinto de cero entonces el sistema tendrá infinitas soluciones, y por tanto los vectores no serán una base de \( \mathbb{R}^3 \).

Entonces debes calcular el determinante y ver para qué valores de \( k \) es distinto de cero. Nota que luego de calcular el valor de \( k \) puedes verificar que efectivamente los 3 vectores son linealmente independiente, y con eso estar segura que llegaste a la solución correcta.

Si quieres escribes el desarrollo y acá lo revisamos.

¿No seria al revés de lo que dices del valor del determinante?
Ese determinante se calcula con facilidad, yo obtuve: \( det(C)=-k+6 \).
De aquí es fácil observar que si \( k=6 \) la matriz tiene determinante \( 0 \) y por lo tanto el sistema de ecuaciones será compatible indeterminado.

También si se tiene la teoría disponible, tenemos el teorema que nos afirma que si tenemos un EV de dimensión \( n \), entonces \( n \) vectores LI serán base del mismo por lo que el determinante debe de ser distinto de \( 0 \) para que nuestros 3 vectores sean base de \( \mathbb{R}^3 \).

Saludos,
Franco.

Pues si franma hay un error simple de términos, yo he tenido varios :

Caso 1. Determinante de la matriz cero, los vectores son linealmente dependientes y en este caso no son una base.

Caso 2. Determinante de la matriz distinto de cero, los vectores son linealmente independientes y en este caso son una base.

Y en efecto con k=6 los tres vectores son linealmente dependientes y no son base de \( R^3 \)

El subespacio generado por los vectores se puede poner como una combinación lineal de dos ellos, por ejemplo del primero y el último o del primero y de una combinación lineal del primero y el último por ejemplo \( C=<\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{2}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{-1}\\{1}\\{0}\end{pmatrix}>=<\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{2}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}{0}\\{1}\\{2}\end{pmatrix}> \) si los escalares son a y b creo que ya se vislumbra la forma del subespacio C y la respuesta.


Saludos

[franma]

Buenas delmar,

Me disculpo si mi mensaje sonó con un tono que no fue el que yo pretendía. Me cuesta a veces (y más por texto) expresarme de forma correcta.

Con tu manera de escribir los vectores como CL, se ve bien la forma de los vectores del subespacio generado.
Falta ahora esperar a que responda sofia y si tiene mas dudas continuar con la ayuda.

Saludos,
Franco.

[feriva]

Hallar el valor de \( k \epsilon\mathbb{R} \) para el cual C= \(  {(1,0,2); (-1,4,k);(-1,1,0)}  \) no es una base en \( \mathbb{R^3} \).

Otra forma de verlo es poner directamente el vector en combinación (si es combinación lineal de los otros el rango de la matriz es menor que tres y ya no es una base):

\( a(-1,4,k)=b(1,0,2)+c(-1,1,0)
  \)

o sea

\( -a=b-c
  \)

\( 4a=c
  \)

\( ka=2b
  \).

De ahí, sumando las dos primeras ecuaciones se tiene

\( b=3a
  \)

y por tanto, entrando en la tercera

\( ka=6a
  \)

\( k=6
  \).

Saludos.

[mathtruco]

Buenas delmar,

Me disculpo si mi mensaje sonó con un tono que no fue el que yo pretendía. Me cuesta a veces (y más por texto) expresarme de forma correcta.
(...)

No vi nada de malo en el tono. Gracias por estar atento y advertir mi error. Cuando veas errores así en mis mensajes (que son más frecuentes de lo que me gustaría) por favor coméntalos con toda confianza.

[franma]

Buenas mathtruco,

Buenas delmar,

Me disculpo si mi mensaje sonó con un tono que no fue el que yo pretendía. Me cuesta a veces (y más por texto) expresarme de forma correcta.
(...)

No vi nada de malo en el tono. Gracias por estar atento y advertir mi error. Cuando veas errores así en mis mensajes (que son más frecuentes de lo que me gustaría) por favor coméntalos con toda confianza.

Me quedo más tranquilo entonces, un simple malentendido por mi parte.

Saludos,
Franco.