Hola follonic.
Es más fácil que tú busques la forma de despejar los términos y luego compares resultados, ya que cada uno lo hará de distinta forma.
Para hallar el tiempo de vuelo en tiro parabólico con resistencia lineal, MARION/THORNTON(Classical Dynamics) plantean:
\( T=\frac{kV+g}{gk}(1-e^{-kt}) \)
Desarrollan el exponencial en series de potencia hasta \( k^3 \) :
\( T= \frac{kV+g}{gk}(kT-\frac{1}{2}k^2T^2+\frac{1}{6}k^3T^3) \) (1)
Primero podemos dividir por \( T \):
\( 1=\dfrac{kV+g}{gk}\left(k-\dfrac{1}{2}k^2T+\dfrac{1}{6}k^3T^2\right) \)
Nota que ya aparece \( T \) y \( T^2 \), que estáne en la expresión a la que debes llegar, así que a partir de acá debe ser sólo reordenar (dejar \( T \) de un lado y \( T^2 \) del otro). Multiplicamos por \( gk/(kV+g) \) para ir despejando:
\( k-\dfrac{1}{2}k^2T+\dfrac{1}{6}k^3T^2=\dfrac{gk}{kV+g} \)
y luego (siempre mirando la expresión a la que queremos llegar) dejo la \( T \) al lado izquierdo y lo demás en el lado derecho
\( -T=\dfrac{2}{k^2}\left(\dfrac{gk}{kV+g}-k-\dfrac{1}{6}k^3k^3T^2\right) \)
\( T=\dfrac{2V}{kV+g}+\dfrac{1}{3}kT^2 \)
y para que el primer sumando del lado derecho quede en la forma requerida divides numerador y denominador por \( g \), quedando
\( T=\dfrac{2V/g}{kV/g+1}+\dfrac{1}{3}kT^2 \)
La segunda parte es mucho más fácil.
Prosiguen desarrollando en series de potencia el primer término de la derecha de (1) hasta \( k^2 \) :
\( \frac{1}{1+kV/g}= 1-kV/g+(kV/g)^2 \)
De la última ecuación que escribí:
\( T=\dfrac{2V/g}{kV/g+1}+\dfrac{1}{3}kT^2 \)
\( =\dfrac{2V}{g}\dfrac{1}{kV/g+1}+\dfrac{1}{3}kT^2 \)
\( =\dfrac{2V}{g}\left(1-\dfrac{kV}{g}+\left(\dfrac{kV}{g}\right)^2\right)+\dfrac{1}{3}kT^2 \)
y ordenando
\( T=\dfrac{2V}{g}+\left(\dfrac{1}{3}T^2-\dfrac{2V^2}{g^2}\right)k+\dfrac{V^3}{g^3}k^2 \)
