[Soofiaa]

Sea \( x_n \) sucesión acotada, es decir, existe \( M>0 \) tal que \( |x_n| \leq{M} \) para todo \( n \in \mathbb{N} \). Se definen las sucesiones:

 \( \overline{v_n} =    sup  \bigcap\limits_{k\geq{n}} \overline{ \{ x_k \} } \)                    \( \underline{v_n} = \text{ínf} \bigcap\limits_{k\geq{n}} \overline{ \{ x_k \} } \)
 Demuestre que \( \overline{v_n} \) y \( \underline{v_n} \) convergen. ¿Pueden tener el mismo límite?. Estudie \( \overline{v_n} \) y \( \underline{v_n} \) para los casos \( x_n = (-1)^n \), \( x_n = (-1)^n / n \), \( x_n = (-1)^n + (-1)^{n+1} / n \)      y     \( x_n = \displaystyle\sum_{j=0}^n{(-1)^j} \)
_________________

Buen día, me podrían echar una mano con esto? la verdad me complica mucho la notación \( \bigcap\limits_{k\geq{n}} \), no logro encontrar información sobre como usarla

Gracias de antemano.

[Masacroso]

Buen día, me podrían echar una mano con esto? la verdad me complica mucho la notación \( \bigcap\limits_{k\geq{n}} \), no logro encontrar información sobre como usarla

Gracias de antemano.

Ya veo, es que esto que has escrito \( \overline{v_n} =    \sup  \bigcap_{k\geq{n}} \overline{ \{ x_k \} } \) no le veo mucho sentido, ¿qué significa \( \overline{\{x_k\}} \) exactamente? Esa notación, sin más, significa la clausura topológica del conjunto de un elemento \( \{x_k\} \), y tendríamos que \( \overline{\{x_k\}}=\{x_k\} \), pero supongo que querías escribir otra cosa, ¿quizá algo como \( \overline{\{x_k:k\geqslant n\}} \)?

[Soofiaa]

Buen día, me podrían echar una mano con esto? la verdad me complica mucho la notación \( \bigcap\limits_{k\geq{n}} \), no logro encontrar información sobre como usarla

Gracias de antemano.

Ya veo, es que esto que has escrito \( \overline{v_n} =    \sup  \bigcap_{k\geq{n}} \overline{ \{ x_k \} } \) no le veo mucho sentido, ¿qué significa \( \overline{\{x_k\}} \) exactamente? Esa notación, sin más, significa la clausura topológica del conjunto de un elemento \( \{x_k\} \), y tendríamos que \( \overline{\{x_k\}}=\{x_k\} \), pero supongo que querías escribir otra cosa, ¿quizá algo como \( \overline{\{x_k:k\geqslant n\}} \)?

Estimado, la verdad no tiene un significado más allá de definir cual es el infimo y el supremo en este ejercicio. Un saludo!

[Masacroso]

Estimado, la verdad no tiene un significado más allá de definir cual es el infimo y el supremo en este ejercicio. Un saludo!

¿Ínfimo y supremo de qué cosa exactamente? ¿De la sucesión \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \)?

[Soofiaa]

Estimado, la verdad no tiene un significado más allá de definir cual es el infimo y el supremo en este ejercicio. Un saludo!

¿Ínfimo y supremo de qué cosa exactamente? ¿De la sucesión \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \)?

Si, en efecto

Un saludo