[Soofiaa]

Usando el criterio de Cauchy, demuestre que \( \{ S_n \} \subset{} \mathbb{R} \) dada por:

                   \( S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{1}{k^p}} \)

converge si \( p>1 \). Estudie el caso \( p=2 \)
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Buenas tardes, ¿tips para demostrar esto si \( p>1 \)?

Logré demostrar para \( p=2 \), no obstante, no logro encontrar la forma para hacerlo con \( p>1 \)

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Para p=2

Spoiler

Para p=2:

La serie \( \displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{1}{k^2}} \) es convergente \( \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}: \left |\displaystyle\sum_{k=m}^n{\displaystyle\frac{1}{k^2}} \right | < \epsilon \), \( \forall n \geq m \geq N \)
Luego, \( \displaystyle \frac{1}{k} < \frac{1}{k-1} \), \( \forall k \in \mathbb{N} \)
Luego, \( \displaystyle \frac{1}{k^2}< \frac{1}{k(k-1)} \)
\( \displaystyle \left |\displaystyle\sum_{k=m}^n{\displaystyle\frac{1}{k^2}} \right | = \displaystyle \displaystyle\sum_{k=m}^n{\displaystyle\frac{1}{k^2}} < \displaystyle \displaystyle\sum_{k=m}^n{\displaystyle\frac{1}{k(k-1)}} =\displaystyle\sum_{k=m}^n \left ( {\displaystyle\frac{1}{k-1}} - \frac{1}{k} \right ) = \left ( \frac{1}{m-1} - \frac{1}{m} \right ) + \left ( \frac{1}{m} - \frac{1}{m+1}  \right )+ \displaystyle \left ( \frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+2} \right ) +...+ \left ( \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} \right ) \)


\( \displaystyle = \left ( \frac{1}{m-1} - \frac{1}{n} \right ) < \frac{1}{m-1} \rightarrow 0 \), ya que si \( m \rightarrow \infty \) \( \displaystyle \frac{1}{N-1} < \epsilon \)

Luego, sea \( \epsilon > 0 \) elíjase a \( N \in \mathbb{N} \) lo suficientemente grande tal que \( \displaystyle \frac{1}{N-1} < \epsilon \) (tal N existe ya que \( \displaystyle \lim_{N \to \infty} \left ( \frac{1}{N-1} \right )=0 \) )
Para \( n \geq m \geq N \) se cumple:

\( \displaystyle \left |\displaystyle\sum_{k=m}^n{\displaystyle\frac{1}{k^2}} \right | = \displaystyle \displaystyle\sum_{k=m}^n{\displaystyle\frac{1}{k^2}} < \displaystyle \displaystyle\sum_{k=m}^n{\displaystyle\frac{1}{k(k-1)}} = \frac{1}{m-1} - \frac{1}{n} < \frac{1}{m-1} \leq \frac{1}{N-1} < \epsilon \)

\( \Rightarrow \displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{1}{k^2}} \) Por lo tanto, es una serie convergente.

[cerrar]

Gracias de antemano!

[Luis Fuentes]

Hola

 ¿No se referirán a usar el Criterio de Condensación de Cauchy?.

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Hola

 ¿No se referirán a usar el Criterio de Condensación de Cauchy?.

Saludos.

Intente resolver el ejercicio usando justamente eso, el criterio de condensación pero lo veía un poco espeso , le veo más sentido a eso probar la convergencia con ese criterio, y no que sea una sucesión de Cauchy.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola

 ¿No se referirán a usar el Criterio de Condensación de Cauchy?.

Saludos.

Intente resolver el ejercicio usando justamente eso, el criterio de condensación pero lo veía un poco espeso , le veo más sentido a eso probar la convergencia con ese criterio, y no que sea una sucesión de Cauchy.

Si. Con el critierio de condensación es muy fácil. Para \( a_n \) positiva decreciente,

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n  \) converge si y sólo si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty 2^na_{2^n}  \)  converge

 En nuestro caso si \( a_n=1/n^p \) entonces \( a^{2^n}=2^{-np} \) y:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty 2^na_{2^n}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty 2^n\cdot 2^{-np}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (2^{1-p})^n  \) 

 Para \( p>1 \) es una serie geométrica de razón \( 2^{1-p}<1 \) y por tanto convergente.

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Me explique mal, quiero decir que probar que la serie es convergente mediante el criterio de condensación no es difícil, lo que intenté era demostrar que era una sucesión de Cauchy mediante el criterio de condensación de Cauchy para series por el primer mensaje, por eso cuando pusiste tu primer respuesta , lo vi más razonable, que era probar que la serie converge.

[Soofiaa]

Hola

Hola

 ¿No se referirán a usar el Criterio de Condensación de Cauchy?.

Saludos.

Intente resolver el ejercicio usando justamente eso, el criterio de condensación pero lo veía un poco espeso , le veo más sentido a eso probar la convergencia con ese criterio, y no que sea una sucesión de Cauchy.

Si. Con el critierio de condensación es muy fácil. Para \( a_n \) positiva decreciente,

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n  \) converge si y sólo si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty 2^na_{2^n}  \)  converge

 En nuestro caso si \( a_n=1/n^p \) entonces \( a^{2^n}=2^{-np} \) y:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty 2^na_{2^n}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty 2^n\cdot 2^{-np}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (2^{1-p})^n  \) 

 Para \( p>1 \) es una serie geométrica de razón \( 2^{1-p}<1 \) y por tanto convergente.

Saludos.

Oh, salió de inmediato

Muchas gracias!