[Fernando Padilla]

Son dos mis consultas, y estan enumeradas.
He agregado un poco de contexto
En un grupo tenemos 2 tipos de operaciones que nos interesará para formular mi consulta
\( *^{1} \)  es una operación interna asociativa,con elemento neutro y posée inverso para todo elemento del grupo.
\( +^{1} \) es una operación interna asociativa,con elemento neutro, tiene inverso para todo elemento del grupo y además es conmutativa

1. ¿En cualquier grupo, todo aquello que sea definido para \( +^{1} \) es siempre válido para \( *^{1} \)?
Mi sustento es que si vale para una operación con 4 condiciones, entonces siempre debe valer para una operación con 3 de esas condiciones.

En un \( A \)-módulo, pero en particular en todo \( \mathbb{Z} \)-módulo tenemos 1 operación interna
\( +^{2} \) es una operación interna asociativa,con elemento neutro, tiene inverso para todo elemento del Z-módulo y además es conmutativa

Sabemos que un grupo abeliano es un \( \mathbb{Z} \)-módulo. Por lo tanto, vemos que el \( +^{2} \) es de algún modo análogo al \( +^{1} \) si vemos al grupo abeliano como \( \mathbb{Z} \)-modulo(no sé si decir "lo mismo" en lugar de "de algún modo análogo al" es válido).
Todo lo que definamos en un \( \mathbb{Z} \)-modulo con operación interna \( +^{2} \) es válido tambien en un grupo abeliano con operación interna \( +^{1} \) y por lo mencionado en 1. me surge la siguiente duda.

2. ¿Podemos decir que todo lo que definamos en un \( \mathbb{Z} \)-modulo con operación interna \( +^{2} \) es válido en cualquier grupo abeliano con operación interna \( *^{1} \)?

[manooooh]

Hola

Desde el vamos me chirría que uses "grupo" para referirte a un conjunto y dos operaciones, porque un grupo sólo tiene un conjunto y una operación. ¿Quizás te refieras a otra estructura?

En cuanto a las operaciones, pues depende de la estructura que tengas. En general coincido en que si te dan una operación con unas propiedades y luego te dan otras, esta cumple las mismas propiedades. A esto se lo suele llamar dualidad. Pero quizás no siempre sea así.

Un ejemplo de dos operaciones duales se da en los retículos o redes. Tienes dos operaciones, supremo e ínfimo, que dependiendo qué calcules te dará un resultado u otro; pero son operaciones duales, de modo que para demostrar una propiedad con la otra operación sólo debes intercambiar el supremo por el ínfimo y el primer elemento por el último. O al revés.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Son dos mis consultas, y estan enumeradas.
He agregado un poco de contexto
En un grupo tenemos 2 tipos de operaciones que nos interesará para formular mi consulta
\( *^{1} \)  es una operación interna asociativa,con elemento neutro y posée inverso para todo elemento del grupo.

Eso es una estructura de grupo.

\( +^{1} \) es una operación interna asociativa,con elemento neutro, tiene inverso para todo elemento del grupo y además es conmutativa

Eso es una estructura de grupo abeliano.

1. ¿En cualquier grupo, todo aquello que sea definido para \( +^{1} \) es siempre válido para \( *^{1} \)?
Mi sustento es que si vale para una operación con 4 condiciones, entonces siempre debe valer para una operación con 3 de esas condiciones.

No estoy seguro de si has expresado bien lo que quieres preguntar; tengo la sensación de que si respondo al pie de la letra a lo que preguntas no resolveré tu duda. Pero tampoco puedo adivinar exactamente en qué estas pensando. 

En un mismo conjunto puedes tener dos o más estructuras de grupo distintas y no isomorfas, de manera que cumplan propiedades esencialmente diferentes. Por ejemplo en un mismo conjunto con cuatro elementos pueden definirse dos estructuras de grupo distintas. Con una será isomorfo a \( Z_2\times Z_2  \) y con otro isomorfo a \( Z_4 \). Y tienen propiedades distintas: uno es cíclico y otro no, por ejemplo.

Pero me parece que  lo que tu preguntas va por otro lado; quizá quieres saber si las definiciones y construcciones genéricas que se hacen partiendo de un grupo abeliano son aplicables a un grupo (no necesariamente abeliano). Pero...¡es justo al revés!. Las construcciones genéricas que se hacen partiendo de un grupo son aplicables a un grupo abeliano (que es un caso particular de grupo); pero hay cosas que sólo son válidas para grupos abelianos porque estos tienen una propiedad "extra".

En un \( A \)-módulo, pero en particular en todo \( \mathbb{Z} \)-módulo tenemos 1 operación interna
\( +^{2} \) es una operación interna asociativa,con elemento neutro, tiene inverso para todo elemento del Z-módulo y además es conmutativa

Sabemos que un grupo abeliano es un \( \mathbb{Z} \)-módulo. Por lo tanto, vemos que el \( +^{2} \) es de algún modo análogo al \( +^{1} \) si vemos al grupo abeliano como \( \mathbb{Z} \)-modulo(no sé si decir "lo mismo" en lugar de "de algún modo análogo al" es válido).
Todo lo que definamos en un \( \mathbb{Z} \)-modulo con operación interna \( +^{2} \) es válido tambien en un grupo abeliano con operación interna \( +^{1} \) y por lo mencionado en 1. me surge la siguiente duda.

2. ¿Podemos decir que todo lo que definamos en un \( \mathbb{Z} \)-modulo con operación interna \( +^{2} \) es válido en cualquier grupo abeliano con operación interna \( *^{1} \)?

Aquí no acabo de entender lo que planteas; no sé si lo que te he preguntado antes te aclara algo al respecto. En caso negativo vuelve a preguntar.

Quizá con un ejemplo concreto se entendería mejor.

Saludos.

[Fernando Padilla]

Hola

Espero poder dejarme entender mejor esta vez.

Quizás lo que pregunto no tiene mucho sentido. Ojalá ese no sea el caso.

Dado un conjunto \( G \) y una operación interna \( *^{1} \), formaré el grupo \( (G,*^{1}) \), si trabajo con este grupo que he formado llegaré a ciertas conclusiones.
Estas cierta conclusiones se pueden restringir a un caso particular, cuando a la operación interna se le de la propiedad de ser conmutativa.
Así, sobre un mismo conjunto, si quiero trabajar de modo general es más practico trabajar primero con \( *^{1} \)(trabajar en \( (G,*^{1}) \) llegar a conclusiones generales, y luego darle la propiedad conmutativa para particularizar (trabajar en \( G,+^{1} \)).

[Fernando Padilla]

En un mismo conjunto puedes tener dos o más estructuras de grupo distintas y no isomorfas, de manera que cumplan propiedades esencialmente diferentes. Por ejemplo en un mismo conjunto con cuatro elementos pueden definirse dos estructuras de grupo distintas. Con una será isomorfo a \( Z_2\times Z_2  \) y con otro isomorfo a \( Z_4 \). Y tienen propiedades distintas: uno es cíclico y otro no, por ejemplo.

Esto es algo que me resulta realmente muy interesante, gracias.

Pero me parece que  lo que tu preguntas va por otro lado; quizá quieres saber si las definiciones y construcciones genéricas que se hacen partiendo de un grupo abeliano son aplicables a un grupo (no necesariamente abeliano). Pero...¡es justo al revés!. Las construcciones genéricas que se hacen partiendo de un grupo son aplicables a un grupo abeliano (que es un caso particular de grupo); pero hay cosas que sólo son válidas para grupos abelianos porque estos tienen una propiedad "extra".

Es decir que todo aquello que pueda definir en un grupo es necesariamente válido en un grupo abeliano, y como un grupo abeliano es un \( \mathbb{Z} \)-módulo. Entonces puedo decir que todo aquello que yo defina en un grupo es válido en cualquier \( \mathbb{Z} \)-módulo.
¿Es correcto lo anterior mencionado?

[manooooh]

Hola

Dado un conjunto \( G \) y una operación interna \( *^{1} \), formaré el grupo \( (G,*^{1}) \), si trabajo con este grupo que he formado llegaré a ciertas conclusiones.
Estas cierta conclusiones se pueden restringir a un caso particular, cuando a la operación interna se le de la propiedad de ser conmutativa.
Así, sobre un mismo conjunto, si quiero trabajar de modo general es más practico trabajar primero con \( *^{1} \)(trabajar en \( (G,*^{1}) \) llegar a conclusiones generales, y luego darle la propiedad conmutativa para particularizar (trabajar en \( G,+^{1} \)).

Vale ahora sí se entiende .

Según entiendo, ¡es justo al revés! Si tú en un principio digamos que trabajas con 4 hipótesis puedes demostrar, digamos, 20 teoremas (por decir cualquier cosa, pero lo importante es la idea). Si tú a esas 4 hipótesis les agregas más hipótesis (*), por ejemplo 3, ahora tienes 7 en total. Las que tenías y las nuevas tres. Pero con esto no sólo vas a poder demostrar nuevamente los 20 teoremas anteriores, sino que vas a poder demostrar muchos otros más, porque hay teoremas que requieren de más hipótesis para funcionar.

¿Se entiende?

(*) y que no sean contradictorias, en cuyo caso podrías demostrar cualquier proposición.

Es decir que todo aquello que pueda definir en un grupo es necesariamente válido en un grupo abeliano, y como un grupo abeliano es un \( \mathbb{Z} \)-módulo. Entonces puedo decir que todo aquello que yo defina en un grupo es válido en cualquier \( \mathbb{Z} \)-módulo.
¿Es correcto lo anterior mencionado?

Sí, por lo que dije antes. \( \Bbb Z \)-módulo es un grupo, entonces todas las propiedades sobre grupos valen también para ese. Pero no al revés, cuidado; pueden haber algunas propiedades de \( \Bbb Z \)-módulo que NO se cumplan en cualquier grupo.

Saludos

Agregado

[Fernando Padilla]

¿Se entiende?

Sí, debí pensarlo mejor pues tiene mucho sentido, gracias.

Sí, por lo que dije antes. \( \Bbb Z \)-módulo es un grupo, entonces todas las propiedades sobre grupos valen también para ese. Pero no al revés, cuidado; pueden haber algunas propiedades de \( \Bbb Z \)-módulo que NO se cumplan en cualquier grupo.

Esto de acá me resulta interesante y resuelve mi duda, creo que no lo he visto como comentario en otro lado por que puede parecer algo obvio. Pero yo particularmente no me había dado cuenta.

Gracias nuevamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Sí, por lo que dije antes. \( \Bbb Z \)-módulo es un grupo, entonces todas las propiedades sobre grupos valen también para ese. Pero no al revés, cuidado; pueden haber algunas propiedades de \( \Bbb Z \)-módulo que NO se cumplan en cualquier grupo.

Ojo. Todo \( \Bbb Z \)-módulo es un grupo abeliano y todo grupo abeliano es un \( \Bbb Z \)-módulo (es decir hay una única manera de dotar de estructura de  \( \Bbb Z \)-módulo a un grupo abeliano).

No dejo de tener una sensación rara en todo este hilo, Fernando Padilla. Me parece que te estás complicando innesariamente.

En la práctica y en casos concretos no creo que tengas confusión con nada de eso. Si defines el concepto de orden de un grupo como el número de elementos del mismo, automáticamente tienes definido el concepto de orden para tipos particulares de grupos: grupos abelianos, grupos simples, grupos semisimples... lo que sea. Pero digamos que es algo muy natural; nada que haya que tener pensado de antemano.

Saludos.

[Fernando Padilla]

Hola

No dejo de tener una sensación rara en todo este hilo, Fernando Padilla. Me parece que te estás complicando innesariamente.

Me costaba asimilar la idea, en el libro que actualmente estoy leyendo hablan primero sobre Módulos y luego sobre Grupos.
En una sección del capítulo de Módulos hablaban especialmente de \( \mathbb Z \)-módulos.
Allí a los \( \mathbb Z \)-módulos les daban ciertas propiedades (como ser finitamente generado o ser de torsión) y en base a esas propiedades llegaba a ciertas conclusiones.
Cuando llegué al tema de Grupos,vi que un grupo abeliano era en realidad un \( \mathbb Z \)-módulo, dudaba de que se pudiera hacer fielmente una análogia.
Es decir dudaba de que si a un grupo abeliano le doy las características tratadas en la sección de \( \mathbb Z \)-módulos podría llegar a las mismas conclusiones en el grupo abeliano.

Ahora sé que es verdad, aunque en un principio como lo comentaba dudaba de esto.