Respecto a esta demostración tengo 2 consultas
1.¿Es correcta?
2.Si es correcta, en realidad se puede asegurar que cumple para cualquier grupo \( G \) o se debe restringir
Sea \( G \) un grupo que actua sobre \( \Omega \).
Escojamos dos elementos aleatorios \( x_1,x_2 \in \Omega \) y que \( g_1,g_2\in G \) (esto último implica que \( g_2g_1^{-1}\in G \) pues \( G \) es grupo)
Definimos la acción por derecha, es decir \( xg \)
Tambien asumir que \( x_1G \) y \( x_2G \) son las orbitas de \( x_1 \) y \( x_2 \).
Sabemos que estas orbitas son en realidad subconjuntos de \( \Omega \) , por tanto sobre estos subconjuntos se puede asegurar que tienen al menos un elemento en común o no tienen algún elemento en común.
Si no tienen algún elemento en común, entonces son disjuntas.
Sabemos que todo elemento de \( x_1G \) y de \( x_2G \)es de la forma \( x_1g_1 \) y \( x_2g_2 \) respectivamente.
Y como tienen al menos un elemento en común, entonces igualamos ambas formas de expresar ese elemento en común, es decir \( x_1g_1=x_2g_2 \)
Ahora \( x_1g_1g_1{-1}=x_2g_2g_1^{-1} \), es decir \( x_1=x_2g_2g_1^{-1} \) .Y como \( g_2g_1^{-1}\in G \) entonces \( x_1\in x_2G \).
De la misma forma se demuestra que \( x_2\in x_1G \).
Podemos interpretar los resultados así: "si \( x_1G \) y \( x_2G \) tienen un elemento común, entonces \( x_1\in x_1G\rightarrow{x_1\in x_2G} \) osea \( x_1G\subseteq{x_2G} \), y tambien \( x_2\in x_2G\rightarrow{x_2 \in x_1G} \) es decir \( x_2G\subseteq{x_1G} \) , por tanto se concluye \( x_1G=x_2G \)"
Y como \( x_1 \) y \( x_2 \) fueron tomados al azar, entonces cumple para toda orbita de los elementos de \( \Omega \).
