[Facoquero]

Hola, tengo una duda con un par de problemas de Teoría de distribuciones.

1.- Sea \[f \in C^{\infty}(\Omega)\], si \[T \in D'(\Omega)\] se define \[fT\] como la distribución sobre \[\Omega\] dada por la fórmula \[\left<{ft,\varphi}\right>=\left<{T,f\varphi}\right>\]

(a) Demostrar que \[(fT)'=f'T+fT'\]
(b) Calcular \[e^x \delta_0\]
(c) Calcular \[e^x \delta'_0\]
(d) Calcular \[\sen(ax)\delta'_0\] con \[a\neq 0\]

2.- Sea H(x) la función de Heaviside y w un número real distinto de cero. Calcula en el sentido de distribuciones

\[(\frac{{\partial^2}}{{\partial x^2}}+w^2)(\frac{H(x)\sen(wx)}{w})\]

Muchas gracias de antemano.

[geómetracat]

¿Qué has intentado? ¿Dónde tienes dudas? No son ejercicios difíciles si tienes claras las definiciones. Por ejemplo, para el a), para toda función test \[ \varphi \] tienes:
\[ \langle (fT)',\varphi \rangle =- \langle fT, \varphi'\rangle=-\langle T, f\varphi'\rangle = -\langle T, (f\varphi)' - f'\varphi\rangle= \dots \]
...sigue tú a partir de ahí.

Para el b), \[ \langle e^x \delta_0,\varphi\rangle = \langle \delta_0, e^x \varphi \rangle = e^0 \varphi(0)=\varphi(0)=\langle \delta_0, \varphi\rangle \]
para toda función test \[ \varphi \]. Por lo tanto, \[ e^x\delta_0=\delta_0 \].

Los demás son parecidos. Lo mismo para el 2), aplicas a una función test arbitraria y vas aplicando las definiciones de derivada y producto por una función \[ C^\infty \], junto a la definición de una función (integrable) como una distribución.

[Facoquero]

Hola, el ejercicio 1 ya he hecho, muchas gracias. Con el 2 sigo teniendo dudas. He hecho lo siguiente:

Defino \[T=(H(x)\sen(wx)/w)\]. Se que \[\left<{D^2 T,\varphi}\right>=\left<{T,D^2 \varphi}\right>\], por lo tanto
\[\left<{(D^2 +w^2)T,\varphi}\right>=\left<{D^2 T,\varphi}\right>+\left<{w^2 T,\varphi}\right>=\left<{T,D^2 \varphi}\right>-\left<{T,w^2 \varphi}\right>\] y ahora tengo dudas de como puedo seguir. Muchas gracias.

[geómetracat]

Te decía que lo fueras haciendo así, pero acabo de darme cuenta de que es mucho más fácil usar los resultados del primer problema junto con que la derivada de la función de Heaviside (en el sentido de las distribuciones) es \[ \delta_0 \]. Así no hace falta aplicarlo a distribuciones tests ni integrar ni nada por el estilo.

En concreto, toma \[ T=H(x) \] (pensada como distribución), y \[ f=\sin(wx)/w \] (que es una función \[ C^\infty \]).

Ahora, aplicando las propiedades de 1 el primer sumando te queda \[ D^2(fT)=(fT)''=(f'T+fT')'=f''T+2f'T'+fT'' = f''H+2f'\delta_0+f\delta'_0 \].
Intenta acabar de calcular lo que te piden.

[Facoquero]

Vale, perfecto. Y en el caso de que continuase haciéndolo de la otra manera, realizando las integrales, ¿como podría seguir? Muchas gracias.